已知G是三角形ABC的重心,且a向量GA+b向量GB+根3倍的向量GC=0,其中a,b,c分别为角A,B,C的对边,求角A

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/29 04:31:44
已知G是三角形ABC的重心,且a向量GA+b向量GB+根3倍的向量GC=0,其中a,b,c分别为角A,B,C的对边,求角A

已知G是三角形ABC的重心,且a向量GA+b向量GB+根3倍的向量GC=0,其中a,b,c分别为角A,B,C的对边,求角A
已知G是三角形ABC的重心,且a向量GA+b向量GB+根3倍的向量GC=0,其中a,b,c分别为角A,B,C的对边,求角A

已知G是三角形ABC的重心,且a向量GA+b向量GB+根3倍的向量GC=0,其中a,b,c分别为角A,B,C的对边,求角A
先证明一个结论:G为三角形ABC所在平面内一点,GA+GB+GC=0点G是三角形ABC的重心 (GA ,GB,GC,0为向量)
【证明】(1)若已知GA+GB+GC=0,
取BC中点D,连结并延长GD至E,使DE=GD,则四边形BGCE是平行四边形
∴向量GB=向量CE
∴向量GB+向量GC=向量CE+向量GC=向量GE
由向量GA+向量GB+向量GC=0得:向量GB+向量GC=-向量GA=向量AG
∴向量AG和向量GE共线===>A、G、E三点共线而D在GE上,
∴A、G、D三点共线而点D又是BC中点,
∴AD(即AG)是三角形ABC中BC边上的中线
同理可证BG是AC边上的中线,CG是AB边上的中线
∴点G是三角形ABC的重心.
(2)若已知点G是三角形ABC的重心,
以GA、GB为邻边做平行四边形AGBD,设GD交AB于E
则向量GD=向量GA+向量GB
又向量GE=-向量GC/2=向量GD/2===>-向量GC=向量GD
∴-向量GC=向量GA+向量GB
∴向量GA+向量GB+向量GC=0向量
本题中:G是三角形ABC的重心,且a向量GA+b向量GB+根3c向量GC=0,
又因GA+GB+GC=0,所以GA=-GB–GC,
代入得:a(-GB–GC) +b向量GB+根3c向量GC=0,
整理得:(b-a) 向量GB+(√3c-a) 向量GC=0,
因为向量GB,向量GC不共线,所以只有b- a =0,√3c-a =0,
三角形是等腰三角形,
根据余弦定理得:cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)= √3/6,
由此可得∠A的大小.

已知点G是三角形ABC的重心,则向量GA+向量GB+向量GC= 已知G是三角形ABC的重心,且56sinA*GA(向量)+40sinB*GB(向量)+35sinC*GC(向量)=0(向量).则角B的大小无 已知G是三角形ABC的重心,且a向量GA+b向量GB+根3倍的向量GC=0,其中a,b,c分别为角A,B,C的对边,求角A 若G是三角形ABC的重心,则向量GA+向量GB+向量GC=? 设G是三角形ABC的重心,且sinA*向量GA+sinB*向量GB+sinC*向量GC=向量0,则角B的大小为多 已知三角形ABC的三边为a,b,c,所对角为A,B.C,G为三角形ABC重心,且a*向量GA+根号3*b*向量GB+根号3*c*向量GC=0向量(1)求证:向量GA+向量GB+向量GC=0向量(2)求角A 向量GA+向量GB+向量GC=0,求证G是三角形ABC重心.向量GA+向量GB+向量GC=0求证:G是三角形ABC重心 已知A.B.C是不公线的三点,G是三角形ABC内一点,若向量GA+向量GB+向量GC=0,求G是ABC的重心 设G是三角形ABC的重心,且sinA*向量GA+sinB*向量GB+sinC*向量GC=0,则角B的大小为多 G为三角形ABC的重心,求证:向量GA+向量GB+向量GC=0 一道数学题(请亲们画图说明)已知A,B,C为不共线的三点,G为△ABC的内的一点,若向量GA+向量GB+向量GC=向量0,求证:点G是△ABC的重心.反之若点G是△ABC的重心,求证:向量GA+向量GB+向量GC=向量0 一道数学题(请亲们画图说明)已知A,B,C为不共线的三点,G为△ABC的内的一点,若向量GA+向量GB+向量GC=向量0,求证:点G是△ABC的重心.反之若点G是△ABC的重心,求证:向量GA+向量GB+向量GC=向量0 (证明题)在三角形ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,点G是三边中线AD,BE,CF的交点(即G是三角形ABC的重心) 且a*向量GA+b*向量GB+C*向量GC=0(a不是向量).求证:1.向量GA+向量GB+向量GC=0.2.三角 在三角形ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,点G是三边中线AD,BE,CF的交点(即G是三角形ABC的重心),a向量GA+b向量GB+C向量GC=0.求证:1.向量GA+向量GB+向量GC=0.2.三角形ABC是等边三角形. 已知三角形ABC的重心为G内角ABC的对边分别为abc若a(向量GA)+b(向量GB)+√3/3(向量GC)=0求角A 已知G为三角形ABC重心,求证:GA向量+GB向量+GC向量=0,尽量写得详细些 设G是三角形ABC的重心,且(56sinA)向量GA+(40sinB)向量GB+(35sinC)向量GC=向量0 ,则角B的大小为? 设G是三角形ABC的重心,且(56sinA)乘向量GA+(40sinB)乘向量GB+(35sinC)乘向量GC=零向量,求∠B的大小?