P是正方形ABCD内一点,点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1,PB=2,PC=3.求此正方形ABCD面积

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 20:40:43

P是正方形ABCD内一点,点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1,PB=2,PC=3.求此正方形ABCD面积
P是正方形ABCD内一点,点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1,PB=2,PC=3.求此正方形ABCD面积

P是正方形ABCD内一点,点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1,PB=2,PC=3.求此正方形ABCD面积
作ΔAED使∠DAE=∠BAP,AE=AP
连结EP,则ΔADE≌ΔABP（SAS）
同样方法,作ΔDFC且有ΔDFC≌ΔBPC.
易证ΔEAP为等腰直角三角形,
又∵AP=1
∴PE=√2 同理,PF=3√2
∵∠EDA=∠PBA,∠FDC=∠PBC
又∵∠PBA+∠PBC=90°
∴∠EDF=∠EDA+∠FDC+∠ADC= 90°+90°=180°
∴点E、D、F在一条直线上.
∴EF=ED+DF=2+2=4,
在ΔEPF中,EF=4,EP=√2 ,FP=3√2
由勾股定理的逆定理,可知ΔEPF为RtΔ
正方形ABCD的面积=△EPF的面积+△EPA的面积+=△PFC的面积=2√2+5

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以B→C为x轴正方向，B→A为y轴正方向建立直角坐标系。
设正方形ABCD边长为a(√5则B(0,0)、A(0,a)、C(a,0),且有方程组：
|BP|^2=x^2+y^2=4 ①
|AP|^2=x^2+(y-a)^2=1，即2ay-a^2=3 ②
|CP|^2=(x-a)^2+y^2=9，即-2ax+a^2=5 ③
②+③: 2a(y-x)=8，即y-x=4/a ④
②-③: 2a(x+y)-2(a^2)=-2，即x+y=(a^2-1)/a ⑤
④^2+⑤^2=2(x^2+y^2)=(16/a^2)+[(a^2-1)^2]/(a^2)=8
令s=a^2，则s为正方形的面积，上式化简为：
16+(s-1)^2=8s
解得：s=5+2√2(舍去5-2√2)
注：正方形ABCD边长为a的取值范围比较麻烦，需要过P作AB、BC的垂线PE、PF，然后设|PF|=t并通过勾股定理慢慢算得，中间可得√5计算a的取值范围可以帮助最后舍去s=5-2√2

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画图可以知道，PB将∠ABC 分成∠ABP与∠PBC 则∠ABP+∠PBC=90度
设正方形的边长为a
根据三角形的余弦定理得：
cos∠ABP=(AB^2+PB^2-AP^2)/(2AB*PB)=(a^2+4-1)/4a=(a^2-3)/4a
同理
cos∠PBC=(BC^2+PB^2-CP^2)/(2BC*BP)=(a^2+4-9)/4a=(a^2-5)/4a
因为：∠ABP+∠PBC=90度
则cos∠ABP=sin∠PBC,cos∠PBC=sin∠ABP
由三角形的正弦定理得:1/sin∠ABP=3/sin∠PBC
则1/cos∠PBC=3/cos∠ABP
即：1/[(a^2-5)/4a]=3/[(a^2-3)/4a]
化简得：6a=a^3 解这方程得a^2=6
则正方形的面积为a^2=6
图形自己画下哦，一下就出来了

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本题用旋转法可以巧解。
将△PBC绕B点逆时针旋转90°至BC与AB重合，得到一个新的△AQB，可知：BQ=PB=2，QA=PC=3，∠ABQ=∠PBC，
由于∠PBC+∠ABP=90°，所以∠PBQ=∠ABQ+∠ABP=∠PBC+∠ABP=90°，则△PBQ是一个等腰直角三角形，
故：∠BPQ=45°，
由勾股定理，得:PQ^2=PB^2+BQ^2=2^2+2^2=8，
另外，在△APQ中，PA^2+PQ^2=1^2+8=9=QA^2，由勾股定理知：△APQ是一个以∠APQ为直角的直角三角形，即∠APQ=90°。
综上得：∠APB=∠APQ+∠BPQ=90°+45°=135°。
AB^2=PA^2+PB^2-2PA*PB*cosAPB=1+4-2*1*2*(-根号2/2）
=5+2根号2
即正方形的面积是：5+2根号2

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我只是提供一个解题的思路，采用解析几何来做哈·解题过程如图中所示。只是不知道怎么的，计算比较复杂了点，如果不对，就当没有回答。

具体解法如下：
你按我的画图如下：A在左上角，B在右上角，C在右下角，D在左下角。
设正方形边长为a,角ABP=@
cos@=(a^2+4-1)/4a (1)
cos(90-@)=(a^2+4-9)/4a (2)
(2)式=sin@=(a^2-5)/4a
(1)式平方+（2)式平方=1
得（a^2+3)^2+(a^2-5...

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