在△ABC中,a+c=√2b,求tan(A/2)tan(C/2)的值

在△ABC中,a+c=√2b,求tan(A/2)tan(C/2)的值
在△ABC中,a+c=√2b,求tan(A/2)tan(C/2)的值

在△ABC中,a+c=√2b,求tan(A/2)tan(C/2)的值
√2b=a+c
由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC
等价于√2sinB=sinA+sinC
√2sin(π-A-C)=sinA+sinC
√2sin(A+C)=sinA+sinC
2√2sin[(A+C)/2]cos[(A+C)/2]=2sin[(A+C)/2]cos[(A-C)/2]
由0

在△ABC中，a+c=√2b，2sin[(A+C)/2]cos[(A-C)/2]=sinA+sinC=√2sinB=√2sin(A+C)=2√2sin[(A+C)/2]cos[(A+C)/2] ，cos(A/2)cos(C/2)+sin(A/2)sin(C/2)=cos[(A-C)/2]=√2cos[(A+C)/2]=√2[cos(A/2)cos(C/2)-sin(A/2)sin(C/2)]，tan(A/2)tan(C/2)=[sin(A/2)sin(C/2)]/[cos(A/2)cos(C/2)]=(√2-1)/(√2+1)=3-2√2 。

由a+c=√2b
又a/sinA=c/sinC=b/sinB
则有:(a+c)/(sinA+sinC)=b/sinB (合比)
=√2b/(√2sinB)
又a+c=√2b
则sinA+sinC=√2sinB (正弦定理)
又A+B+C=pi

全部展开

由a+c=√2b
又a/sinA=c/sinC=b/sinB
则有:(a+c)/(sinA+sinC)=b/sinB (合比)
=√2b/(√2sinB)
又a+c=√2b
则sinA+sinC=√2sinB (正弦定理)
又A+B+C=pi
则√2sinB=√2sin[pi-(A+C)]
=√2sin(A+C)(诱导公式)
=√2*[2sin(A/2+C/2)cos(A/2+C/2)]
=2√2sin(A/2+C/2)cos(A/2+C/2)(2倍角)
又√2sin(A+C)=√2sinB
=sinA+sinC
=2*1/2*{sin[(A/2+C/2)+(A/2-C/2)]+sin[(A/2+C/2)-(A/2-C/2)]}
=2sin(A/2+C/2)cos(A/2-C/2)(和化积)
则2√2sin(A/2+C/2)cos(A/2+C/2)=2sin(A/2+C/2)cos(A/2-C/2)
则√2cos(A/2+C/2)=cos(A/2-C/2)
(同除2sin(A/2+C/2))
则√2cos(A/2)cos(C/2)-√2sin(A/2)sin(C/2)
=cos(A/2)cos(C/2)+sin(A/2)sin(C/2)
则
(√2-1)cos(A/2)cos(C/2)=(1+√2)sin(A/2)sin(C/2)
(1+√2)tan(A/2)tan(C/2)=√2-1
(同除cos(A/2)cos(C/2))
tan(A/2)tan(C/2)=3-2√2

收起

恰好是一个直角三角形。
其中a=45度，c=45度。用公式就算出来了。