已知函数f x =2ˆx＋k·2ˆ﹙﹣x﹚,k∈R若对任意的x∈[0,＋∞）都有f(x)>2ˆ﹙﹣x﹚成立,求实数k的取值范围

已知函数f x =2ˆx＋k·2ˆ﹙﹣x﹚,k∈R若对任意的x∈[0,＋∞）都有f(x)>2ˆ﹙﹣x﹚成立,求实数k的取值范围
已知函数f x =2ˆx＋k·2ˆ﹙﹣x﹚,k∈R
若对任意的x∈[0,＋∞）都有f(x)>2ˆ﹙﹣x﹚成立,求实数k的取值范围

已知函数f x =2ˆx＋k·2ˆ﹙﹣x﹚,k∈R若对任意的x∈[0,＋∞）都有f(x)>2ˆ﹙﹣x﹚成立,求实数k的取值范围
答：
f(x)=2^x+k*2^(-x)
=2^x+k/2^x
对任意x>=0都有：f(x)>2^(-x)成立
f(x)=2^x+k/2^x>2^(-x)=1/2^x成立
2^x+(k-1)/2^x>=0在x>=0时成立
设t=2^x>=1,上式化为：
t+(k-1)/t>=0
(1-k)/t<=t
1-k<=t^2
1-k<=1<=t^2
k>=0