作业帮已知:如图,延长三角形ABC的各边,使BF=AC,AE=CD=BF,顺次连接D、E、F,所得△DEF为等边三角形.满意的话加悬求证(1)△AEF≌△CDE(2)三角形ABC为等边三角形
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 09:52:11
已知:如图,延长三角形ABC的各边,使BF=AC,AE=CD=BF,顺次连接D、E、F,所得△DEF为等边三角形.满意的话加悬求证(1)△AEF≌△CDE(2)三角形ABC为等边三角形
已知:如图,延长三角形ABC的各边,使BF=AC,AE=CD=BF,顺次连接D、E、F,所得△DEF为等边三角形.满意的话加悬
求证(1)△AEF≌△CDE
(2)三角形ABC为等边三角形
已知:如图,延长三角形ABC的各边,使BF=AC,AE=CD=BF,顺次连接D、E、F,所得△DEF为等边三角形.满意的话加悬求证(1)△AEF≌△CDE(2)三角形ABC为等边三角形
（1）证明：
∵BF=AC,AB=AE
∴AF=AB+BF=AE+AC=CE
∵AE=CD,FE=ED
∴△AEF全等于△CDE（S.S.S）
（2）证：∴∠FAE=∠ECD
∴∠BAC=∠BCA
∴AB=BC
∵△AEF全等于△CDE
∴∠CDE=∠FEA,∠DEC=∠EFA
又∵∠FED=∠FDE=60°
∠FDB=∠FDE-∠CDE
∠DEC=∠FED-∠FEA
∴∠FDB=∠DEC
又∵∠DEC=∠EFA
∴∠FDB=∠EFA
∴同理可证∠BFD=∠CDE
又∵FD=DE
∴△FBD全等于△DCE（A.S.A)
∴BF=CD
∵AB=CD,BF=AC
∴AB=AC
∵AB=BC
∴△ABC是等边三角形
证明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知）
∴FA=EC（等量代换）．（1分）
∵△DEF是等边三角形（已知），
∴EF=DE（等边三角形的性质）．（2分）
又∵AE=CD（已知），
∴△AEF≌△CDE（SSS）．（4分）
（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（对应角相等），
∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC...
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证明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知）
∴FA=EC（等量代换）．（1分）
∵△DEF是等边三角形（已知），
∴EF=DE（等边三角形的性质）．（2分）
又∵AE=CD（已知），
∴△AEF≌△CDE（SSS）．（4分）
（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（对应角相等），
∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代换），
△DEF是等边三角形（已知），
∴∠DEF=60°（等边三角形的性质），
∴∠BCA=60°（等量代换），
由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC，
∵∠DEC+∠FEC=60°，
∴∠EFA+∠FEC=60°，
又∠BAC是△AEF的外角，
∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°，
∴△ABC中，AB=BC（等角对等边）．（6分）
∴△ABC是等边三角形（等边三角形的判定）．（7分）
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