已知A=(a1,a2,a3,a4)是四阶矩阵,a1,a2,a3,a4是四维列向量,若方程组Ax=b,的通解是（1,2,2,1）+k（1,-2,4,0）,又B=(a3,a2,a1,b-a4),求Bx=a1-a2的通解主要是想知道矩阵B的秩为什么是2,怎么不是1或3

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/05 12:31:07

已知A=(a1,a2,a3,a4)是四阶矩阵,a1,a2,a3,a4是四维列向量,若方程组Ax=b,的通解是（1,2,2,1）+k（1,-2,4,0）,又B=(a3,a2,a1,b-a4),求Bx=a1-a2的通解主要是想知道矩阵B的秩为什么是2,怎么不是1或3
已知A=(a1,a2,a3,a4)是四阶矩阵,a1,a2,a3,a4是四维列向量,若方程组Ax=b,的通解是（1,2,2,1）+k（1,-2,4,0）,又B=(a3,a2,a1,b-a4),求Bx=a1-a2的通解
主要是想知道矩阵B的秩为什么是2,怎么不是1或3

已知A=(a1,a2,a3,a4)是四阶矩阵,a1,a2,a3,a4是四维列向量,若方程组Ax=b,的通解是（1,2,2,1）+k（1,-2,4,0）,又B=(a3,a2,a1,b-a4),求Bx=a1-a2的通解主要是想知道矩阵B的秩为什么是2,怎么不是1或3
因为方程组Ax=b的通解是(1,2,2,1)+k(1,-2,4,0)
那么b=(1+k)a1+(2-2k)a2+(2+4k)a3+a4
b-a4=(1+k)a1+(2-2k)a2+(2+4k)a3
方程组Ax=b导出组Ax=0的通解为k(1,-2,3,0)
即ka1-2ka2+3ka3=0
当k≠0时,存在不全为0的数使a1,a2,a3的线性组合为0,所以a1,a2,a3线性相关
又Ax=0的基础解系中只含有一个向量
所以r(a1,a2,a3,a4)=3
那么r(a1,a2,a3)=2
因为向量组a3,a2,a1,b-a4可以和向量组a1,a2,a3相互线性表示,即二者等价
那么r(a3,a2,a1,b-a4)=r(a1,a2,a3)=2

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记 y=（1,2,2,1）^T，z=（1,-2,4,0）^T,
由已知，y是Ax=b的一个特解，kz是对应齐次方程Ax=0的通解
有Ay=b, Az=0
即：(1) a1+2a2+2a3+a4=b
(2) a1-2a2+4a3=0
由(2)： (3) a1=2a2-4a3
由(1)： (4) b-a4=a1+2a2+2a3 = 4a2-2a3
再由齐次方程Ax=0的解空间的秩为1得：
4-r(A)=1，r(A)=3
因此 a2, a3, a4线性无关。
结合(3)(4)可知，a2,a3是矩阵B的极大线性无关组，矩阵B的秩为2
Bx=0的解空间的秩为4-r(B)=2，
由(3)(4)可得，u=(4, -2, 1, 0)^T, v=(2, -4, 0, 1)^T是Bx=0的两个线性无关解，
Bx=0的通解为 k1*u+k2*v（k1, k2∈R）
显然 w=(0,-1,1,0)是Bx=a1-a2的一个特解
因此 Bx=a1-a2 的通解为 w+k1*u+k2*v （k1, k2∈R）

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