作业帮如图.三角形ABC是圆O的内接三角形.AC=BC.D为圆O中弧AB上一点.延长DA至点E.使CE=CD.（1）求证：AE=BD；（2）若AD+BD=√2CD,求证AC⊥BC.注意（第二题是若AD+BD=√2CD,求证AC⊥BC.请看清楚在回答,）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 01:09:28
如图.三角形ABC是圆O的内接三角形.AC=BC.D为圆O中弧AB上一点.延长DA至点E.使CE=CD.（1）求证：AE=BD；（2）若AD+BD=√2CD,求证AC⊥BC.注意（第二题是若AD+BD=√2CD,求证AC⊥BC.请看清楚在回答,）
如图.三角形ABC是圆O的内接三角形.AC=BC.D为圆O中弧AB上一点.延长DA至点E.使CE=CD.
（1）求证：AE=BD；（2）若AD+BD=√2CD,求证AC⊥BC.
注意（第二题是若AD+BD=√2CD,求证AC⊥BC.请看清楚在回答,）
如图.三角形ABC是圆O的内接三角形.AC=BC.D为圆O中弧AB上一点.延长DA至点E.使CE=CD.（1）求证：AE=BD；（2）若AD+BD=√2CD,求证AC⊥BC.注意（第二题是若AD+BD=√2CD,求证AC⊥BC.请看清楚在回答,）
（1）
∵CE=CD AC=BC ∠CAE=∠ADC+∠ACD=∠ABC+∠ABD=∠CBD（三角形外角及圆周角定理）
∴△ACE ≌△BCD
AE=BD
（2）
∵△ACE ≌△BCD
AE=BD ∠ACE=∠BCD
AD+BD=AD+AE=DE=√2CD
DE^2=2CD^2=CD^2+CE^2(符合勾股定理边与边的关系)
∠DCE=90（DE对边为直角）
∠DCE=∠ACD+∠ACE=∠ACD+∠BCD=90
∴AC⊥BC
证明：（1）∵△ABC是⊙O的内接三角形，AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED；
又∵∠ABC=∠CDE，
∴∠ABC=∠BAC=∠CDE=∠CED，（同弧上的圆周角相等）
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠BCD=∠ACE，
AC=BC，∠ACE=∠BCD，CE=CD；
在△AEC和△BDC中...
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证明：（1）∵△ABC是⊙O的内接三角形，AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED；
又∵∠ABC=∠CDE，
∴∠ABC=∠BAC=∠CDE=∠CED，（同弧上的圆周角相等）
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠BCD=∠ACE，
AC=BC，∠ACE=∠BCD，CE=CD；
在△AEC和△BDC中，
∴△AEC≌△BDC（SAS），
∴AE=BD．
（2）∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴∠DCE=90°；
又∵CD=CE，
∴△DCE为等腰直角三角形，
∴DE=根号2CD，
又∵DE=AD+AE且AE=BD，
∴AD+BD=根号2CD．
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