作业帮已知函数f（x）=2x^2 g（x）=alnx （a>0）1,若直线l交f(x)的图象C于A,B两点,与l平行的另一直线l'切图象C于点M求证：A,M,B三点的横坐标成等差数列2,若不等式f(x)≥g(x)恒成立,求a的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 16:24:37
已知函数f（x）=2x^2 g（x）=alnx （a>0）1,若直线l交f(x)的图象C于A,B两点,与l平行的另一直线l'切图象C于点M求证：A,M,B三点的横坐标成等差数列2,若不等式f(x)≥g(x)恒成立,求a的取值范围
已知函数f（x）=2x^2 g（x）=alnx （a>0）
1,若直线l交f(x)的图象C于A,B两点,与l平行的另一直线l'切图象C于点M
求证：A,M,B三点的横坐标成等差数列
2,若不等式f(x)≥g(x)恒成立,求a的取值范围
已知函数f（x）=2x^2 g（x）=alnx （a>0）1,若直线l交f(x)的图象C于A,B两点,与l平行的另一直线l'切图象C于点M求证：A,M,B三点的横坐标成等差数列2,若不等式f(x)≥g(x)恒成立,求a的取值范围
1、
∵L与C有两个交点
∴L不可能与x轴垂直,即L有斜率
设：A(x1y,1),B(x2,y2),M(x3,x3)
L：y=kx+b,
L’：y=kx+c,
联立y=kx+b和y=f(x)=2x²
得：2x²-kx-b=0
∴x1+x2=k/2…………①
f’(x)=4x
∵L’在M处的斜率为k
∴f’(x3)=4x3=k
∴x3=k/4…………②
由①②,得：
x1+x2=2x3
∴x1、x3、x2成等差数列.
2、
令h(x)=f(x)-g(x)=2x²-alnx , x＞0
h’(x)=4x - a/x= (4x²-a)/x
令h’(x)≥0,则x≥√a/2,即h(x)在[√a/2,+∞)上单调递增
同理：h(x)在(0,√a/2)上单调递减
∴当x=√a/2时,h(x)在(0,+∞)上取最小值.
∴h(x)min = h(√a/2)= 2×(√a/2)² - aln(√a/2) = a/2 - aln(√a/2)
要使f(x)≥g(x)恒成立
则h(x)=f(x)-g(x)≥0恒成立
即：h(x)min= a/2 - aln(√a/2)≥0 恒成立
a/2 - aln(√a/2)≥0
aln(√a/2)≤a/2
ln(√a/2)≤1/2
√a/2≤e^(1/2) = √e
∴0＜a≤4e