三角形ABC中,(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2,证明ABC为直角三角形

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/01 12:57:04

三角形ABC中,(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2,证明ABC为直角三角形
三角形ABC中,(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2,证明ABC为直角三角形

三角形ABC中,(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2,证明ABC为直角三角形
(sinA)^2=(1-cos2A)/2
(sinB)^2=(1-cos2B)/2
(sinC)^2=(1-cos2C)/2
原式可化为
3-cos2A -cos2B -cos2C=4
cos2A+cos2B+cos2C=-1
2cos(A+B)cos(A-B)+2(cosC)^2-1=-1
-cosCcos(A-B)+(cosC)^2=0
∴ cosC=0
或者 cos(A-B)=cosC
1）cosC=0,∠C=90°
2) A-B=C,∠A=90°
3) A-B=-C,∠B=90°
∴△ABC为直角三角形

全部展开

因为 (sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2，所以
(sinA)^2 = 2-(sinB)^2-(sinC)^2 = (cosB)^2+(cosC)^2.
由和角公式：sinA = sin(B+C) = sinBcosC+cosBsinC，所以
(sinA)^2 = (sinB)^2(cosC)^2+(cosB)^2(sinC)^2+2sinBsinCcosBcosC.
所以
(cosB)^2+(cosC)^2-(sinA)^2
=[(cosB)^2-(cosB)^2(sinC)^2]+[(cosC)^2-(cosC)^2(sinB)^2]-2sinBsinCcosBcosC
=2(cosB)^2(cosC)^2-2sinBsinCcosBcosC
=2cosBcosC(cosBcosC-sinBsinC)
=2cosBcosCcos(B+C)
=-2cosAcosBcosC
=0
因此 cosA，cosB，cosC 中必有一个为0，即ABC是直角三角形。

收起

三角形ABC中,sinA^2+sinB^2 在三角形ABC中,sinA^2 在三角形ABC中,sinA^2 在三角形ABC中,sinA-sinB/sin(A B)=√2sinA-si在三角形ABC中,sinA-sinB/sin(A B)=√2sinA-sinC/sinA sinB.(1)求B,(2)若cosA=3/5,求sinC的值在三角形ABC中,已知2cosBsinC=sinA,则三角形ABC一定为什么三角形? 在三角形ABC中,若sinA-2sinBcosC=0,则三角形ABC必定是三角形在三角形abc中若sinA＝2cosBsinC 则三角形abc是什么三角形在三角形ABC中2cosBsinC=sinA,则三角形ABC为---三角形在三角形ABC中,若2cosB乘sinA=sinC则三角形ABC是什么三角形, 在三角形abc中若sinA＝2cosBsinC 则三角形abc是什么三角形在三角形ABC中,sinA^2+sinB^2+sinC^2 在三角形ABC中,求证：sinA+sinB+sinC大于2 在三角形ABC中,sinA^2+sin^B 在三角形ABC中,已知2sinBcosC=sinA,证明已知三角形ABC中,C为钝角,cos2A=5分之4 （1）求sinA+cosA的值（2）若5si已知三角形ABC中,C为钝角,cos2A=5分之4（1）求sinA+cosA的值（2）若5sin（2A+C）=sinC求C,求tan2B的值. 在三角形ABC中,若sinA*sinB 在三角形ABC中,若sinA*sinB 在三角形ABC中,sinA×cosA