sin2x+sinx+cosx最大值怎么求

sin2x+sinx+cosx最大值怎么求
sin2x+sinx+cosx最大值怎么求

sin2x+sinx+cosx最大值怎么求
令f(x)=sin2x+sinx+cosx
f(x)=sin2x+sinx+cosx
=2sinxcosx+sinx+cosx
=(1+2sinxcosx)+sinx+cosx-1
=(sinx+cosx)²+(sinx+cosx)-1
=t²+t-1 令t=sinx+cosx
=y(t)
则f(x)的最大值即为抛物线y(t)=t²+t-1的最大值
因t=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)
∴t的取值范围为t∈[-√2,√2]
而抛物线y=t²+t-1=(t+1/2)²-3/4,对称轴为t=-1/2,开口向上
∴在t∈[-√2,√2]上,y(t)在t=-1/2处取得最小值,在t=√2处取得最大值
∴f(x)的最大值为y(√2)=2+√2-1=1+√2