作业帮已知椭圆C的方程为 X的平方+4Y的平方=16,过点A(0,3)作直线l和椭圆C相交于P,Q.若PQ的中点又在直线 X+4Y=0 上,求直线l的方程?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 05:03:55
已知椭圆C的方程为 X的平方+4Y的平方=16,过点A(0,3)作直线l和椭圆C相交于P,Q.若PQ的中点又在直线 X+4Y=0 上,求直线l的方程?
已知椭圆C的方程为 X的平方+4Y的平方=16,过点A(0,3)作直线l和椭圆C相交于P,Q.若PQ的中点又在直线 X+4Y=0 上,求直线l的方程?
已知椭圆C的方程为 X的平方+4Y的平方=16,过点A(0,3)作直线l和椭圆C相交于P,Q.若PQ的中点又在直线 X+4Y=0 上,求直线l的方程?
设直线方程为 y=kx+b 过点A(0,3)
所以直线方程为 y=kx+3
x^2+4y^2=16
y=kx+3
x^2+4(kx+3)^2＝16
（1+4k^2)x^2＋24kx+20=0
x1+x2=-24k/(1+4k^2)
y1+y2=k(x1+x2)+3
中点在直线 x+4y=0上
所以
-12k/(1+4k^2)＋4(-12k^2/(1+4k^2)＋3/2)＝0
4k^2+2k-1=0
k=-1正负根号5
所以所求的直线方程为
y=（－1正负根号5)x＋3
有二条直线方程
设直线为y=ax+3，代入椭圆方程，即x^2+4（ax+3)^2=16
由韦达定理x1+x2=-24a/(1+4a^2).所以PQ中点横坐标是-12a/(1+4a^2).纵坐标为-12a^2/(1+4a^2)+3.代入X+4Y=0,LZ自己解一下a是多少就ok咯~
设P(x1,y1),Q(x2,y2),P、Q二点均在椭圆上，坐标代入椭圆方程，
原方程化成标准式，x^2/16+y^2/4=1,长半轴a=4,短半轴b=2,
x1^2/16+y1^2/4=1,x2^2/16+y2^2/4=1,二式相减，整理得：1/4+
[（y1-y2)/(x1-x2)]*[(y1+y2)/2/(x1+x2)/2]=0.........(1)
设PQ...
全部展开
设P(x1,y1),Q(x2,y2),P、Q二点均在椭圆上，坐标代入椭圆方程，
原方程化成标准式，x^2/16+y^2/4=1,长半轴a=4,短半轴b=2,
x1^2/16+y1^2/4=1,x2^2/16+y2^2/4=1,二式相减，整理得：1/4+
[（y1-y2)/(x1-x2)]*[(y1+y2)/2/(x1+x2)/2]=0.........(1)
设PQ中点坐标M(x0,y0),x0=(x1+x2)/2,y0=(y1+y2)/2,
（y1-y2)/(x1-x2)是直线PQ的斜率k,[(y1+y2)/2]/[(x1+x2)/2]=y0/x0,
又M(x0,y0)在直线x+4y=0 上，y0=-x0/4,y0/x0=-1/4,由（1）式，
k*y0/x0=-1/4,k=1,直线方程,(y-3)/(x-0)=1,y=x+3.
收起
要求直线的方程，要先设直线L为y=kx+3
连立椭圆的方程与直线的方程得（1+4k²）x²+24kx+20=0
用韦达定理：x`+x``=-a/b=-24k/1+4k²
y`+y``=6-（24k²/1+4k²）
PQ中点则是(x`+x``)/2=12k/(1+4k²) (y`+...
全部展开
要求直线的方程，要先设直线L为y=kx+3
连立椭圆的方程与直线的方程得（1+4k²）x²+24kx+20=0
用韦达定理：x`+x``=-a/b=-24k/1+4k²
y`+y``=6-（24k²/1+4k²）
PQ中点则是(x`+x``)/2=12k/(1+4k²) (y`+y``)/2=3-（12k²/1+4k²）
再把这个代入x+4y=0 最后化出来就是了，求出K。就OK了
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