如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AO平分∠BAC,交CD于O,E为AB上一点,且AE=AC,求证:OE∥BC

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 05:03:10
如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AO平分∠BAC,交CD于O,E为AB上一点,且AE=AC,求证:OE∥BC

如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AO平分∠BAC,交CD于O,E为AB上一点,且AE=AC,求证:OE∥BC
如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AO平分∠BAC,交CD于O,E为AB上一点,且AE=AC,求证:OE∥BC

如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AO平分∠BAC,交CD于O,E为AB上一点,且AE=AC,求证:OE∥BC
因为∠1=∠2,AE=AC,AO=AO
所以△AOE≌△AOC
所以∠OEA=∠OCA
因为∠ACB=90°
所以∠B+∠A=90°
所以∠OCA+∠A=90°
所以∠B=∠OCA
所以∠B=∠OEA
所以OE∥BC

连接CE,延长AO交CE于F。

AC=AE,因此△ACE为等腰三角形。AF为顶角的角平分线,因此AF垂直平分CE。

因此CF=FE,∠AFC=∠AFE=90°。又OF=OF,因此△OFC≌△OFE,因此∠OCF=△OEF。

因此∠ACD=∠ACE-∠OCF=∠AEC-∠OEF=∠AEO

又CD为Rt△斜边垂线,由△ADC与△ACB相似性可知∠ACD=∠B

因此∠AEO=∠B,因此OE∥BC