设△ABC的内角ABC的对边分别为abc,且bcosC=(2a-c)cosB若b=根号3,则a+c的最大值是?我已经求出了最大值为2根号3,但是缺少了A角的范围,求算∠A的范围（ps:三角形并未说明是什么三角形!）

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/01 06:57:11

设△ABC的内角ABC的对边分别为abc,且bcosC=(2a-c)cosB若b=根号3,则a+c的最大值是?我已经求出了最大值为2根号3,但是缺少了A角的范围,求算∠A的范围（ps:三角形并未说明是什么三角形!）
设△ABC的内角ABC的对边分别为abc,且bcosC=(2a-c)cosB
若b=根号3,则a+c的最大值是?
我已经求出了最大值为2根号3,但是缺少了A角的范围,求算∠A的范围（ps:三角形并未说明是什么三角形!）

设△ABC的内角ABC的对边分别为abc,且bcosC=(2a-c)cosB若b=根号3,则a+c的最大值是?我已经求出了最大值为2根号3,但是缺少了A角的范围,求算∠A的范围（ps:三角形并未说明是什么三角形!）
答：
三角形ABC中,bcosC=(2a-c)cosB
根据正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
则有：sinBcosC=(2sinA-sinC)cosB=2sinAcosB-cosBsinC
所以：sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB=sinA>0
所以：cosB=1/2
所以：B=60°
因为：b=√3
根据余弦定理有：
b^2=a^2+c^2-2accosB
3=a^2+c^2-ac
(a+c)^2-3ac=3
3ac=(a+c)^2-3
因为：(a+c)^2>=4ac
所以：3ac

全部展开

bcosC=(2a-c)cosB
由正弦定理得
sinBcosC=(2sinA-sinC)cosB
sinBcosC+sinCcosB-2sinAcosB=0
sin(B+C)-2sinAcosB=0
sinA-2sinAcosB=0
sinA(2cosB-1)=0
sinA=0(A为三角形内角，sinA恒>0，舍去)或cosB=1/2
由余弦定理得
cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)
cosB=1/2，b=√3代入，得
(a²+c²-3)/(2ac)=1/2
[(a+c)²-2ac-3]/(2ac)=1/2
(a+c)²=3ac+3
由均值不等式得(a+c)²≥4ac，当且仅当a=c时取等号
3ac+3≥4ac
ac≤3
(a+c)²≤3×3+3=12
a+c≤2√3 ，当且仅当a=c时取等号。
a+c的最大值为2√3
不知道你所说的求角A的范围是第二问还是本题需要。如果是第二问，请追问。如果是你认为本题需要，那么可以告诉你，不需要求A的范围。

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