作业帮已知F是椭圆X^/2+Y^2=1的左焦点,两弦AC与BD均过点F.若AC垂直于BD,试求四边形ABCD的面积S的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 06:01:57
已知F是椭圆X^/2+Y^2=1的左焦点,两弦AC与BD均过点F.若AC垂直于BD,试求四边形ABCD的面积S的最小值
已知F是椭圆X^/2+Y^2=1的左焦点,两弦AC与BD均过点F.若AC垂直于BD,试求四边形ABCD的面积S的最小值
已知F是椭圆X^/2+Y^2=1的左焦点,两弦AC与BD均过点F.若AC垂直于BD,试求四边形ABCD的面积S的最小值
这个题可以用极坐标来解答 方法比较简单 极坐标的公式及不太清楚了 好像是ep/(1-cos a)吧
常用方法是设直线,及讨论直线的斜率存在与不存在时的情况予以讨论：
不妨设A(x1,y1),C(x2,y2),B(x3,y3),D(x4,y4)
（1）若AC或者BD垂直于坐标轴,不妨设AC垂直于x轴,则此时的交点为（-1,±√2/2）,(±√2,0),此时的面积S=2
（2）若AC,BD直线均存在斜率时,可设直线AC斜率为k,则由题意可知直线BD的斜率是-1/k,lac方程为:y=kx+k,
则联立方程﹛y=kx+k：X^2/2+Y^2=1},（2k^2+1)x^2+4k^2x+2(k^2-1)=0,
x1+x2=-4k^2/(2k^2+1),x1x2=2(k^2-1)/(2k^2+1)
△=8k^2+8＞0
(x1-x2)^=(x1+x2)^-4x1x2=[-4k^2/(2k^2+1)]^-8(k^2-1)/(2k^2+1)=△^2/(2k^2+1)^2=64(k^+1)^/(2k^2+1)^,
(y2-y1)^=((kx1+k)-(kx2+k))^=k^(x1-x2)^
则AC长度为√[（x1-x2）^+(y1-y2)^]=√[(k^+1)(x1-x2)^]=2√2(k^+1)/(2k^2+1)
同理 设BD方程为：y=-1/k(x+1)
联立方程可得：{y=-1/k(x+1)：X^2/2+Y^2=1}
BD长度为：2√2(k^+1)/(2k^2+1)
故次四边形的面积为：S=0.5*AC*BD=0.5*2√2(k^+1)/(2k^2+1)*2√2(k^+1)/(2k^2+1)
=4(k^+1)^/[(2+k^)(2k^+1)]
将S视为变量,则可化为：（4-2S）k^4+(8-5S)k^+4-2S=0,此处k有解,则△=（8-5S）^-16(2-S)^≥0,解得S≥16/9（S≥0）
综上所述,当AC,BD垂直于坐标轴时四边形的面积为2
当AC,BD不垂直垂直于坐标轴时四边形的面积最小为16/9＜2
则面积最小为16/9
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