如图在△ABC中,角BAC=90°,AB=AC,BC=6.△BCD中,角BCD=90°,角DBC=60° 平面ABC⊥平面BCD(1)求证:平面ABD⊥平面ACD(2)设二面角A-BD-C的大小为t,求tant的值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/03 21:11:03
如图在△ABC中,角BAC=90°,AB=AC,BC=6.△BCD中,角BCD=90°,角DBC=60° 平面ABC⊥平面BCD(1)求证:平面ABD⊥平面ACD(2)设二面角A-BD-C的大小为t,求tant的值

如图在△ABC中,角BAC=90°,AB=AC,BC=6.△BCD中,角BCD=90°,角DBC=60° 平面ABC⊥平面BCD(1)求证:平面ABD⊥平面ACD(2)设二面角A-BD-C的大小为t,求tant的值
如图在△ABC中,角BAC=90°,AB=AC,BC=6.△BCD中,角BCD=90°,角DBC=60° 平面ABC⊥平面BCD
(1)求证:平面ABD⊥平面ACD
(2)设二面角A-BD-C的大小为t,求tant的值

如图在△ABC中,角BAC=90°,AB=AC,BC=6.△BCD中,角BCD=90°,角DBC=60° 平面ABC⊥平面BCD(1)求证:平面ABD⊥平面ACD(2)设二面角A-BD-C的大小为t,求tant的值
证明:(1)∵平面ABC⊥平面BCD,两平面交线为BC,CD⊥BC
∴CD⊥平面ABC,∴CD⊥AB
∵AB⊥AC,AC、CD相交,AC、CD⊂平面ACD
∴AB⊥平面ACD ∴平面ABD⊥平面ACD
(2)取BC中点E,过点E作EF⊥BD,连接AE,AF
∵AB=AC,∴AE⊥BC,∴AE⊥平面BCD
∵EF⊥BD,∴AE⊥BD(三垂线定理)
∴∠AFE是二面角A—BD—C的一个平面角
∵AE=BE,EF=BEsin60°
∴tant=1/sin60°=2/3 ×√3