作业帮设椭圆方程为(x^2)+(y^2)/4=1,过点M（0,1）的直线l交椭圆于A、B；O是坐标原点,点P满足OP→=1/2(OA→+OB→),点N坐标为(1/2,1/2),当l绕M旋转时,求：(1)P的轨迹方程(2)|NP→|的最小值与最大值（向量的符号
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 19:11:59
设椭圆方程为(x^2)+(y^2)/4=1,过点M（0,1）的直线l交椭圆于A、B；O是坐标原点,点P满足OP→=1/2(OA→+OB→),点N坐标为(1/2,1/2),当l绕M旋转时,求：(1)P的轨迹方程(2)|NP→|的最小值与最大值（向量的符号
设椭圆方程为(x^2)+(y^2)/4=1,过点M（0,1）的直线l交椭圆于A、B；O是坐标原点,点P满足OP→=1/2(OA→+OB→),点N坐标为(1/2,1/2),当l绕M旋转时,求：
(1)P的轨迹方程
(2)|NP→|的最小值与最大值
（向量的符号打不出来,在字母后面加了个箭头来表示向量）
设椭圆方程为(x^2)+(y^2)/4=1,过点M（0,1）的直线l交椭圆于A、B；O是坐标原点,点P满足OP→=1/2(OA→+OB→),点N坐标为(1/2,1/2),当l绕M旋转时,求：(1)P的轨迹方程(2)|NP→|的最小值与最大值（向量的符号
(1).
直线L过M(0,1)
当直线L⊥x轴时：OA+OB=0,则OP=0,则P点为原点(0,0)
当直线L不垂直x轴时：设L斜率为k,则直线L方程为：y=kx+1
联立椭圆4x²+y²=4和直线y=kx+1,得：
4x²+k²x²+1+2kx=4,即(k²+4)x²+2kx-3=0
则x1+x2=-2k/(k²+4)
则y1+y2=(kx1+1)+(kx2+1)=k(x1+x2)+2=-2k²/(k²+4)+2=8/(k²+4)
OA=(x1,y1),OB=(x2,y2),则OA+OB=(x1+x2,y1+y2)=(-2k/(k²+4),8/(k²+4))
则OP=1/2(OA+OB)=(-k/(k²+4),4/(k²+4))
即P点坐标为(-k/(k²+4),4/(k²+4))
令x=-k/(k²+4),y=4/(k²+4)
得：4x²+y²-y=0,即x²/(1/4)²+(y-1/2)²/(1/2)²=1
此方程为中心在(0,1/2),长轴为1,短轴为1/2,交点在y轴的椭圆
动点P的轨迹方程为x²/(1/4)²+(y-1/2)²/(1/2)²=1
(2).
P点轨迹的参数方程为：x=1/4cosθ,y=1/2+1/2sinθ
则|PN|²=(x-1/2)²+(y-1/2)²
=(1/4cosθ-1/2)²+(1/2sinθ)²
=1/16cos²θ+1/4-1/4cosθ+1/4-1/4cos²θ （此处利用了sin²θ=1-cos²θ）
=-3/16cos²θ-1/4cosθ+1/2
=-3/16(cos²θ+4/3cosθ)+1/2
=-3/16(cosθ+2/3)²+7/12
∵cosθ∈[-1,1]
则cosθ+2/3∈[-1/3,5/3]
则(cosθ+2/3)²∈[0,25/9]
则-3/16(cosθ+2/3)²∈[-25/48,0]
则-3/16(cosθ+2/3)²+7/12∈[1/16,7/12]
即|PN|²∈[1/16,7/12]
则|PN|∈[1/4,√21/6]
即|NP|的最大值为√21/6,最小值为1/4