作业帮用数学归纳法证明：X的(2n-1)次方 +Y的（2n-1)次方能被X+Y整除
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 18:59:19
用数学归纳法证明：X的(2n-1)次方 +Y的（2n-1)次方能被X+Y整除
用数学归纳法证明：
X的(2n-1)次方 +Y的（2n-1)次方能被X+Y整除
用数学归纳法证明：X的(2n-1)次方 +Y的（2n-1)次方能被X+Y整除
证明：（1）当n=1时,x^(2n-1)+y^(2n-1)=x+y
∴x^(2n-1)+y^(2n-1）能被（x+y）整除
故命题成立.
（2）假设当n=k时,x^(2k-1)+y^(2k-1）能被（x+y）整除
当n=k+1时,
有x^(2k+1)+y^(2k+1)
=x²*x^(2k-1)+x²*y^(2k-1)+y²y^(2k-1)-x²*y^(2k-1)
=x²[x^(2k-1)+y^(2k-1)]+(y²-x²)y^(2k-1)
=x²[x^(2k-1)+y^(2k-1)]+(y-x)(x+y)y^(2k-1)
∵由假设知x^(2k-1)+y^(2k-1)能被（x+y）整除
显然x+y能被（x+y）整除
∴x²[x^(2k-1)+y^(2k-1)]+(y-x)(x+y)y^(2k-1)能被（x+y）整除
故x^(2k+1)+y^(2k+1)能被（x+y）整除
∴由数学归纳法知x^(2n-1)+y^(2n-1）能被（x+y）整除.
n=1时有 x^(2*1-1)+y^(2*1-1)=x+y 能被x+y整除
假设n=k时结论成立，即 x^(2k-1)+y^(2k-1)能被x+y整除
n=k+1时，原式= x^(2k+1)+y^(2k+1)=x^2*x^(2k-1)+y^2*y^(2k-1)=x^2*x^(2k-1)+y^2*y^(2k-1)-y^2*x^(2k-1)+y^2*x^(2k-1)=(x^2-y^2)...
全部展开
n=1时有 x^(2*1-1)+y^(2*1-1)=x+y 能被x+y整除
假设n=k时结论成立，即 x^(2k-1)+y^(2k-1)能被x+y整除
n=k+1时，原式= x^(2k+1)+y^(2k+1)=x^2*x^(2k-1)+y^2*y^(2k-1)=x^2*x^(2k-1)+y^2*y^(2k-1)-y^2*x^(2k-1)+y^2*x^(2k-1)=(x^2-y^2)*x^(2k-1) + y^2*[x^(2k-1)+y^(2k-1)]=(x+y)(x-y)x^(2k-1)+y^2*[x^(2k-1)+y^(2k-1)]
第一项 显然能被x+y整除 ，第二项根据n=k时的假设也是能被整除的，也就是说n=k+1时成立 ，因此结论得证
收起