作业帮一个不等式的证明 快的好的给采纳）证明：若a是正实数,n属于N*,且n>=2,则 a^n>=na-(n-1),
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 17:06:56
一个不等式的证明 快的好的给采纳）证明：若a是正实数,n属于N*,且n>=2,则 a^n>=na-(n-1),
一个不等式的证明 快的好的给采纳）
证明：若a是正实数,n属于N*,且n>=2,则 a^n>=na-(n-1),
一个不等式的证明 快的好的给采纳）证明：若a是正实数,n属于N*,且n>=2,则 a^n>=na-(n-1),
用均值不等式. 考虑以下n个正实数:a^n, 1, 1,..., 1, 即1个a^n与n-1个1.
这n个正实数的算术平均为(a^n+1+...+1)/n = (a^n+n-1)/n.
而这n个正实数的几何平均为(a^n·1·1·...·1)^(1/n) = a.
由均值不等式, 算术平均 ≥ 几何平均.
即有(a^n+n-1)/n ≥ a, 也即a^n ≥ na-(n-1).等号成立当且仅当a = 1.
可以用归纳法
n=2 时
a^2-2a+1=（a-1)^2>=0
显然成立
假设 n=k 时 不等式成立
即 a^k>=ka-(k-1)
n=k+1时
a^(k+1）=a*a^k>=a(ka-(k-1))=ka^2-a(k-1) 式（1）
不等式右边为 （k+1)a-k 式（2）
比较 式（1）与式（2）大小 ，令（1...
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可以用归纳法
n=2 时
a^2-2a+1=（a-1)^2>=0
显然成立
假设 n=k 时 不等式成立
即 a^k>=ka-(k-1)
n=k+1时
a^(k+1）=a*a^k>=a(ka-(k-1))=ka^2-a(k-1) 式（1）
不等式右边为 （k+1)a-k 式（2）
比较 式（1）与式（2）大小 ，令（1）-（2）有
ka^2-a(k-1) -（k+1)a+k=k(a^2-2a+1)=k(a-1)^2>=0
即 a^(k+1）>=（k+1)a-k
n= k+1时成立
综上 对任意n属于N*，且n>=2,则 a^n>=na-(n-1),
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