已知直角坐标平面上点A(-2,3)和圆C:(x-3)2+（y-2）2=1,一条光线从A射出经X轴反射后与圆C相切,求反射后的光线方程

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 14:57:16

已知直角坐标平面上点A(-2,3)和圆C:(x-3)2+（y-2）2=1,一条光线从A射出经X轴反射后与圆C相切,求反射后的光线方程
已知直角坐标平面上点A(-2,3)和圆C:(x-3)2+（y-2）2=1,一条光线从A射出经X轴反射后与圆C相切,求反射后的光线方程

已知直角坐标平面上点A(-2,3)和圆C:(x-3)2+（y-2）2=1,一条光线从A射出经X轴反射后与圆C相切,求反射后的光线方程
设反射光线方程为y=kx+b.
则：入射光线的斜率为-k,
所以：入射光线方程为：y-3=-k(x+2)
即：y=-kx+3-2k
因入射光线和反射光线的交点位于x轴上,
将反射光线与入射光线联立
①y=kx+b
②y=-kx+3-2k
将①变化,得：x=(y-b)/k
代入②,得：y=-k[(y-b)/k]+3-2k
即：2y=b-2k+3
应有：y=0,
所以：③b=2k-3
将反射光线方程代入圆,得：(x-3)^2+(kx+b-2)^2=1
(k^2+1)x^2+(2bk-4k-6)x+b^2-4b+12=0
因为反射光线与圆相切,所以上述方程有重根,即：
△=(2bk-4k-6)^2-4(k^2+1)(b^2-4b+12)=0
整理后得：16k^2+12(b-2)k+(b^2-4b-6)=0
将③代入,得：16k^2+12(2k-5)k+(4k^2-20k+15)=0
整理后得：44k^2-80k+15=0
解此方程,得：k1=(20+√235)/22,k2=(20-√235)/22
代入③得：b1=(√235-13)/11,b2=-(13+√235)/11
将所得b和k代入所设,所求反射光线方程为：
(20+√235)x-22y+2√235-26=0
(20-√235)x-22y-2√235-26=0

最烦的方法:
先设经A的方程:y-3=k(x+2),求出与X轴的交点B，设出过B 的点斜式方程y=f(x)，根据圆点C到f(x)的距离为1，和设出两条直线斜率互为相反数得出两个方程，即可解出两斜率，由斜率确定方程。

圆C:(x-3)2+（y-2）2=1
则圆心（3，2）半径为1
设反射点B（a,0）
则入射光线的斜率=-3/（a+2）
所以反射光线的斜率=3/（a+2）
则反射光线的解析式为
y=3(x-a)/(a+2)
即3x-(a+2)y-3a=0
圆心到反射光线的距离=1
|9-2(a+2)-3a|/√(9+(a+2)^2)=1<...

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