求定积分∫(上限为1,下限为0)x^2/(1+x^2)^2 dx

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 14:00:06
求定积分∫(上限为1,下限为0)x^2/(1+x^2)^2 dx

求定积分∫(上限为1,下限为0)x^2/(1+x^2)^2 dx
求定积分∫(上限为1,下限为0)x^2/(1+x^2)^2 dx

求定积分∫(上限为1,下限为0)x^2/(1+x^2)^2 dx
在分子上+1-1,
原式拆为2项=∫1/(1+x^2) dx -∫1/(1+x^2)^2 dx
其中第1个积分∫1/(1+x^2) dx的原函数是arctanx,计算得=π/4,
第2个积分∫1/(1+x^2)^2 dx用换元令x=tant,得=∫(上限为π/4,下限为0)(cost)^2 dt
=∫(上限为π/4,下限为0)(1+cos2t)/2 dt
(计算得)=π/8+1/4,
原式=π/8 - 1/4.