作业帮正方形ABCD与正方形CEFG,有公共顶点C,点P为AF的中点,证PB=PE
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 00:50:43
正方形ABCD与正方形CEFG,有公共顶点C,点P为AF的中点,证PB=PE
正方形ABCD与正方形CEFG,有公共顶点C,点P为AF的中点,证PB=PE
正方形ABCD与正方形CEFG,有公共顶点C,点P为AF的中点,证PB=PE
其实这个图形很特殊,不仅PB=PE,而且PB⊥PE
我有两种方法证明,可能第一种有点复杂
方法1）
延长BP至G,截取PG=BP,连接BE,AG,EG,BF,连接FG交BC于M,交EC与N
思路：构造平行四边形ABFG,创造全等三角形.
大致方法：△BCE≌△GEF（SAS）,
得GE=BE,∠BEC=∠GEF
再得∠BEG=∠CEF=90°,即△BEG是等腰直角三角形,
∵BP=PG,
∴PB=PE, PB⊥PE
详细证明：
∵AP=PF,BP=PG
∴四边形ABFG是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
∴AB=GF,AB‖GF（平行四边形两组对边分别相等且平行）
∵正方形ABCD中
∴AB=BC（正方形各边相等）
∴∠DCB=90°（正方形各角90°）
∴DF=BC
同理,EC=EF,∠CEF=90°
∵AB‖GF
∴∠DCB=∠GMB=90°
∴∠NMC=∠BMG=90°
∵△CMN中,∠CMN+∠CNM+∠NCM=180°
△ENF中,∠NEF+∠FEN+∠NFE=180°
∵∠CNM=∠FEN
∴∠NCM=∠NFE
在△BCE与△GFE中
BC=GF
∠BCE=∠GFE
EC=EF
∴△BCE≌△GFE（SAS）
∴GE=BE,∠BEC=∠GEF
∴∠BEC-∠GEC=∠GEF-∠DEC
即∠BEG=∠CEF=90°
∴△BEG是等腰直角三角形,
∵BP=PG,
∴PB=PE, PB⊥PE
方法2）
连接AC,CF,取AC中点M,CF中点N,连接BM,PM,PN,EN,延长NP交BM于J
思路：直接构造三角形全等（较简洁）
大致方法：△BMP≌△NPE
得 PB=PE,∠PBM=∠EPN
∴∠EPN+∠BPJ=∠MBP+∠BPJ=∠MJP=90°
∵∠EPN+∠BPJ+∠BPE=180°
∴∠BPE=90°
即BP⊥EP
详细证明：
∵正方形ABCD中
∴AB=BC（正方形各边相等）
∴∠ABC=90°（正方形各角90°）
即△ABC是等腰直角三角形
∵M是AC中点
∴BM=½AC,∠BMC=90°
同理,EN=½CF,∠ENC=90°
∴∠BMC=∠ENC
∵P是AF中点,M是AC中点
∴PM‖CF,PM=½CF
∴PN‖MC,PN=½AC
∴BM=PN,PM=EN
∴四边形MPNC是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
∴∠PMC=∠PNC（平行四边形对角相等）
∴∠BMC-∠PMC=∠ENC-∠PNC
即∠BMP=∠PNE
在△BMP与△PNE中
BM=PN
∠BMP=∠PNE
PM=EN
∴PB=PE,∠PBM=∠EPN
∵NP‖MC,∠BMC=90°
∴∠MJP=90°
∴∠EPN+∠BPJ=∠MBP+∠BPJ=∠MJP=90°
∵∠EPN+∠BPJ+∠BPE=180°
∴∠BPE=90°
即BP⊥EP
【打字很辛苦,楼主能不能加点悬赏啊!】
