谁是哥德巴赫猜想的第一个验证人大神们帮帮忙

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人的首要责任就是要有雄心.在拿破仑的雄心中有某些高贵的因素,但是最高贵的雄心,就是要在死后留下具有永久价值的东西. ——哈代：《一个数学家的自白》 编者按： 也许是因为徐迟的那篇充满激情和诗意的报告文学,也许是因为历史的因缘凑合,哥德巴赫猜想居然成了中国人家喻户晓的一个名词.这个词代表了一段传奇,代表了一代人的集体记忆,也代表了一个民族的光荣与梦想.直到今天,仍然有难以计数的人们,有大学老师、中学老师,甚至工人、农民,为哥德巴赫猜想着魔. 我们无法准确地评价延续20多年的“哥德巴赫猜想现象”.也许不同的人站在不同的视角上,都可以生发出自己的思考. 而下面的文章,则纯粹从学术的角度介绍了哥德巴赫猜想的研究历史,也是一篇很好的科普文章.希望有助于人们更深入地了解哥德巴赫猜想,当然,我们也把此文献给去世5年的潘承洞先生——他的名字已经镌刻在哥德巴赫猜想研究的年表上. 数学与数论 数学王子高斯(C. F. Gauss)有一句名言：“数学是科学的女王”；他又讲“数论是数学的王冠”.正如他所说,数论在数学中一直处于醒目的地位. 18世纪的领袖数学家拉格朗日(J. L. Lagrange)有一个著名的定理,即任何一个正整数都能写成四个整数的平方和.这个定理是费马(Fermat)早年的猜测,与拉格朗日同时代的大数学家欧拉(L. Euler)曾经给出一个不完整的证明.第一个完整的证明是拉格朗日给出的.他在完成这个工作之后很感慨,在给欧拉的一封信中,他说：“对我来讲,算术是最难的.”这里,算术就是数论.这是拉格朗日对数论的评价. 何谓哥德巴赫猜想? 俄国数学家辛钦(A. Ya. Shinchin)曾经评论说,哥德巴赫猜想是王冠上的一颗明珠.当然,这个王冠上可能还有其它明珠. 哥德巴赫(C. Goldbach)并不是职业数学家,而是一个喜欢研究数学的富家子弟.他于1690年生于德国哥尼斯堡,受过很好的教育.哥德巴赫喜欢到处旅游,结交数学家,然后跟他们通讯.1742年,他在给好友欧拉的一封信里陈述了他著名的猜想——哥德巴赫猜想.欧拉在回信中说,他相信这个猜想是正确的,虽然他不能给出证明. 用当代语言来叙述,哥德巴赫猜想有两个内容,第一部分叫做奇数的猜想,第二部分叫做偶数的猜想.奇数的猜想指出,任何一个大于等于7的奇数都是三个素数的和.偶数的猜想是说,大于等于4的偶数一定是两个素数的和. 任何人看了这个猜想之后,都能发现这是一个漂亮的猜想.本人认为,一个好的猜想应该具备以下四个条件.第一,它的表述应该很简单,大凡智力正常的人一听就能明白.我相信,小学四、五年级的学生都能明白哥德巴赫猜想的内容.第二个条件,虽然表述很简单,但是这个猜想的证明断然不能简单.第三点,一旦有了证明,这个证明一定是出人意料的.一个好的猜想的证明一定是有趣的,绝对不能像愚公移山一样,天天重复同样枯燥的工作,重复了上万年,才取得成功.第四点,这个猜想绝对不能是孤立的,任何孤立的猜想在数学中都没有太大的意义.一个好的猜想的研究应该可以提升到人类文化史的高度上来看,能够带动其它相关领域、甚至是数学以外的学科的发展.具备上面这四点,那就是一个伟大的猜想.我个人认为,哥德巴赫猜想就具备以上这四个条件. 给定一个猜想,人们可以用各种各样的方法进行研究.譬如,对于哥德巴赫猜想,有人可能用数手指头的方法来研究,这人可能是个小学生.有人想用打算盘的方法来研究,那这人可能是一个小店的会计兼出纳.真正研究这个猜想,则需要很高深的数学工具.还必须指出的是,从这个猜想可以看出数学的特性——数学是在所有科学当中唯一能够处理无穷的学科.我们不能用做实验的方法来研究哥德巴赫猜想.计算机算得再快,也只能在有限时间内算有限个数；然而,遗憾的是,奇数和偶数都有无穷多个.所以,这个猜想让迷信实验的人非常沮丧.不过,在最好的计算机所能算到的范围之内,哥德巴赫猜想全是对的.’ 奇数的哥德巴赫猜想 相对来讲,奇数的猜想比较容易,因为它是偶数的猜想的推论.如果每个大偶数都能写成两个素数之和,那么我们就能够证明任何大奇数都是三个素数之和,因为任何奇数减去3都是一个偶数. 关于哥德巴赫猜想的研究,历史上第一个重要文献是哈代(G. H. Hardy)和李特伍德(J. E. Littlewood)1921年的伟大论文,在这篇长达70页的文章里,他们提出了圆法.哈代在英国皇家学会演讲时说：“我和李特伍德的工作是历史上第一次严肃地研究哥德巴赫猜想”,虽然此前很多有名的数学家都研究过这个猜想,甚至有人宣布证明了猜想.然而,哈代和李特伍德对奇数猜想的证明依赖于一个条件——广义黎曼(B. Riemann)猜想——这个猜想到现在也未被证明.在英国人看来,哈代重振了牛顿(I. Newton)以后的英国分析. 1937年,俄国数学家维诺格拉多夫(I. M. Vinogradov)无条件地基本证明了奇数的哥德巴赫猜想.维诺格拉多夫定理指出,任何充分大的奇数都能写成三个素数之和.也就是说,在数轴上取一个大数,从这个数往后看,哥德巴赫猜想都对；在这个数前面的奇数,需要用手或计算机来验证.然而,至今计算机还未能触及那个大数. 维诺格拉多夫的证明发表之后,又出现了几个新证明.这些证明既简洁,又提供了完全不同的方法.在这些新证明中,有三个特别应该强调的：一个是俄国数学家林尼克(Yu. V. Linnik)的,再一个是潘承彪先生的；还有英国数学家沃恩(R. C. Vaughan)的.在相当长的一个阶段内,人们认为林尼克是离哥德巴赫猜想很近的人,他对哥德巴赫猜想进行了深入的研究.与此同时,他还是一个很好的数理统计学家. 偶数哥德巴赫猜想 很遗憾,偶数的哥德巴赫猜想到现在都没有得到证明.但是,数学家们从各个方向逼近这个猜想,并且取得了辉煌的成就.我将介绍研究偶数的哥德巴赫猜想的四个途径,其中几乎每个途径都有潘老师的工作.这四个途径分别是：殆素数,例外集合,小变量的三素数定理,以及几乎哥德巴赫问题. 途径一：殆素数 殆素数就是素因子个数不多的正整数.现设N是偶数,虽然现在不能证明N是两个素数之和,但是可以证明它能够写成两个殆素数的和,即N＝A+B,其中A和B的素因子个数都不太多,譬如说素因子个数不超过10.现在用狖a+b狚来表示如下命题：每个大偶数N都可表为A+B,其中A和B的素因子个数分别不超过a和b.显然,哥德巴赫猜想就可以写成狖1+1狚.在这一方向上的进展都是用所谓的筛法得到的. 1920年,布朗(V. Brun)首先取得突破性的进展,证明了命题狖9+9狚.后续进展如下：哈德马赫(H. Rademacher),1924,狖7+7狚；艾斯特曼(T. Estermann),1932,狖6+6狚；里奇(G. Ricci),1937,狖5+7狚；布赫施塔伯(A. A. Buchstab),1938,狖5+5狚；布赫施塔伯,1940,狖4+4狚；库恩(P. Kuhn),1941,a+b小于或等于6.1950年,菲尔兹奖得主塞尔伯格(A. Selberg)改进了筛法.王元先生1956年证明了狖3+4狚.另一个俄国数学家阿·依·维诺格拉多夫(A. I. V inogradov)1957年证明了狖3+3狚,王元先生1957年进一步证明了狖2+3狚. 上述结果有一个共同的特点,就是a和b中没有一个是1,即A和B没有一个是素数.所以,要是能证明a＝1,再改进b,那就是一件更了不起的工作.林尼克1941年提出来的大筛法使得这项工作成为可能.后来,林尼克的学生、匈牙利数学家兰易(A. Rényi)深入地研究了大筛法,并在1948年证明了命题狖1+b狚.用王元先生的话说,这个b是个天文数字.当时,没有人知道b究竟有多大.这个b的数值依赖于素数在算术级数中平均分布的水平,即另外一个重要常数θ的值. 此后便是潘承洞先生的伟大工作.1962年,28岁的潘承洞定出θ可以取1/3,从而推出命题狖1+5狚,一下子把b从天文数字降到了5.这是一个决定性的突破.王元先生改进筛法之后,证明了狖1+4狚.同一年,潘老师又得到了一个更大的θ＝3/8.从3/8出发,潘老师也证明了狖1+4狚.然后,布赫施塔伯证明了3/8蕴涵命题狖1+3狚,即从潘老师的θ＝3/8可以推出命题狖1+3狚来.以上结果表明,θ做得越大,b就越小.但θ不能太大,其可能的最大值是1/2；比1/2再大,均值定理的形式就会发生变化,所以可以认为1/2是最佳.1965年,θ的最佳值1/2被取到,这个定理就叫做庞比埃里-维诺格拉多夫(E. Bombieri--A. I. Vinogradov)定理,是庞比埃里和阿·依·维诺格拉多夫独立证明的.庞比埃里是意大利数学家,因为这项工作获得了菲尔兹奖.虽然庞比埃里证明了θ能取到1/2,但是他未能证明狖1+2狚. 命题狖1+2狚的证明是陈景润先生完成的.1966年,陈景润先生在《科学通报》上登了命题狖1+2狚证明的简报,此后“文化大革命”开始,《科学通报》与《中国科学》随即停刊.直到1973年《中国科学》复刊之后,陈先生狖1+2狚证明的全文才得以发表.
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