作业帮若sinA+sinB=sinC(cosA+cosB),试判断三角形ABC的形状是什么形状是什么第一行到第二行右边看不懂：为什么sinA+sinB=2sinA+B/2cosA+B/2/2cosA+B/2cosA-B/2
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 16:17:42
若sinA+sinB=sinC(cosA+cosB),试判断三角形ABC的形状是什么形状是什么第一行到第二行右边看不懂：为什么sinA+sinB=2sinA+B/2cosA+B/2/2cosA+B/2cosA-B/2
若sinA+sinB=sinC(cosA+cosB),试判断三角形ABC的形状是什么形状是什么
第一行到第二行右边看不懂：为什么sinA+sinB=2sinA+B/2cosA+B/2/2cosA+B/2cosA-B/2
若sinA+sinB=sinC(cosA+cosB),试判断三角形ABC的形状是什么形状是什么第一行到第二行右边看不懂：为什么sinA+sinB=2sinA+B/2cosA+B/2/2cosA+B/2cosA-B/2
本人将过程叙述得详细些,估计你就能够看明白了.
∵sinA＋sinB＝sinC（cosA＋cosB）,······①
∴（cosA＋cosB）不为0,否则就有sinA＋sinB＝0,得：sinC＝0.
而在△ABC中,sinC＞0.
①的两边同除以（cosA＋cosB）,得：sinC＝（sinA＋sinB）/（cosA＋cosB）.
在△ABC中,有：C＝180°－（A＋B）,
∴sin［180°－（A＋B）］＝（sinA＋sinB）/（cosA＋cosB）.······②
∵sinA＋sinB＝2sin［（A＋B）/2］cos［（A－B）/2］,
cosA＋cosB＝2cos［（A＋B）/2］cos［（A－B）/2］,
∴（sinA＋sinB）/（cosA＋cosB）＝sin［（A＋B）/2］/cos［（A＋B）/2］,
∴②可变成：sin（A＋B）＝sin［（A＋B）/2］/cos［（A＋B）/2］,
∴2sin［（A＋B）/2］cos［（A＋B）/2］＝sin［（A＋B）/2］/cos［（A＋B）/2］.······③
显然有：sin［（A＋B）/2］＝sin［（180°－C）/2］＝cos（C/2）＞0.
∴③两边同除以sin［（A＋B）/2］,得：2cos［（A＋B）/2］＝1/cos［（A＋B）/2］,
∴｛cos［（A＋B）/2］｝^2＝1/2,∴｛cos［（180°－C）/2］｝^2＝1/2,
∴［sin（C/2）］^2＝1/2.
在△ABC中,有：sin（C/2）＞0,∴sin（C/2）＝1/√2,∴C/2＝45°,∴C＝90°.
∴△ABC是以AB为斜边的Rt△.
本题还可以用正弦定理和余弦定理结合起来证明,具体如下：
∵sinA＋sinB＝sinC（cosA＋cosB）,
∴a/（2R）＋b/（2R）＝［c/（2R）］（cosA＋cosB）,
∴a＋b＝c（cosA＋cosB）,
∴2ab（a＋b）＝a（2bccosA）＋b（2accosB）,
∴2ab（a＋b）＝a（b^2＋c^2－a^2）＋b（a^2＋c^2－b^2）,
∴2ab（a＋b）＝ab（a＋b）＋c^2（a＋b）－（a^3＋b^3）,
∴ab（a＋b）＝c^2（a＋b）－（a＋b）（a^2－ab＋b^2）.
显然有：（a＋b）不为0,∴ab＝c^2－（a^2－ab＋b^2）,∴a^2＋b^2＝c^2.
∴△ABC是以AB为斜边的Rt△.