对定义域属于R的函数f(x),有f(a,b)=af(b)+bf(a),且f(x)的绝对值小于等于1.求证：f(x)恒等于零这是一道自主招生的题目.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 14:04:19
对定义域属于R的函数f(x),有f(a,b)=af(b)+bf(a),且f(x)的绝对值小于等于1.求证：f(x)恒等于零这是一道自主招生的题目.

对定义域属于R的函数f(x),有f(a,b)=af(b)+bf(a),且f(x)的绝对值小于等于1.求证：f(x)恒等于零这是一道自主招生的题目.
对定义域属于R的函数f(x),有f(a,b)=af(b)+bf(a),且f(x)的绝对值小于等于1.求证：f(x)恒等于零
这是一道自主招生的题目.

对定义域属于R的函数f(x),有f(a,b)=af(b)+bf(a),且f(x)的绝对值小于等于1.求证：f(x)恒等于零这是一道自主招生的题目.
令a=b=0,则f(0)=0,对于任意非零实数x0,令b=x0,
则f(ax0)=af(x0)+x0f(a),
当a≠0时,f(x0)/x0=f(ax0)/ax0-f(a)/a,
因为lim(a→∞)(1/a)=0,│f(a)│≤1,
所以lim(a→∞)(f(a)/a)=0,
因为lim(a→∞)(1/(ax0))=0,│f(ax0)│≤1,
所以lim(a→∞)(f(ax0)/(ax0))=0,
因此,对f(x0)/x0=f(ax0)/ax0-f(a)/a两边同取极限,得,
lim(a→∞)(f(x0)/x0)=lim(a→∞)(f(ax0)/(ax0))-lim(a→∞)(f(a)/a)=0
但f(x0)/x0是常数,
故f(x0)/x0是常数,故f(x0)/x0=0
即f(x0)=0.
综上,f(x0)=0
(2006年清华自主招生题)

上解正确，
也可以假设至少存在一点x0，使得f(x0)≠0,则x0≠0,±1
用数学归纳法先证f(x^n)=nx^(n-1)f(x)
在利用分类讨论，
1.|x0|＞1,
2.0＜|x0|＜1
分别用极限逼近，导出矛盾

已知函数f(x)的定义域为R,且对任意a,b属于R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时f(x) 已知函数f(x)的定义域为R,且对任意a,b属于R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>o时,f(x) 已知定义域为R的函数f(x)是奇函数,当x>=0时,f(x)=|x-a^2|-a^2,且对x属于R,恒有f(x+1)>求正实数a的取值已知定义域为R的函数f(x)是奇函数,当x>=0时,f(x)=|x-a^2|-a^2,且对x属于R,恒有f(x+1)>=f(x),求实数a的取值 定义域在R上的函数y=f(x),有f(x)≠0,当x＞0时,f(x)＞1,且对任意的a,b属于R,都有f(a+b)=f(a)+f(b) (1)证明f(0）=1 （2）证明对于任意x属于R,恒有f(x)大于0 已知定义域为R的函数f(x)满足:f(4)=-3,且对任意x属于R总有f倒（x） 已知函数fx的定义域为R,对任意a,b属于R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时,f(x) 已知定义域为R的函数f(x)是奇函数当x>=0时f(x)=|x-a^2|-a^2,且对x属于R,恒有f(x-2) 设函数f(x)的定义域为R,且f(x)不等于0,当x>0,f(x)>1,对x,y属于R,有f(x+y)=f(x)f(y).设函数f(x)的定义域为R,且f(x)不等于0,当x>0时,f(x)>1,对x,y属于R,有f(x+y)=f(x)f(y).（1）求证：f9x)>0（2）解不等式 f(x)≤ 1/f(x+1 函数F(x)定义域为R,对任意a b属于R都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当X大于零时F(x)小于零恒成立.F(3)=-3此函数是单调减函数,而且是奇函数.请求出函数y=F(x)在[m,n]上的值域.其中m,n属于整数 设函数f(x)的定义域为R,当x>0时,f(x)>1,且对任意xy属于R,均有f(x+y)=f(x)f(y),试判断函数f(x)单调性 已知函数f(x)的定义域为R,对任意x属于R,都有f（x+5)=f(x),当x属于【0,2】,f(x)=根号x+3,则f(2011)= 1.函数f(x)对其定义域中的任意x都有f(x)=f(12-).设f(x)=0有n个根,且这n个根的和为1992.求n值.2.已知函数f(x)的定义域为R,但f(x)不为0,并且对任意a.b属于R.f(a+b)+F(a-b)=2f(a)f(b)恒成立判断f(x)的奇偶性若存 单调减函数,且是奇函数函数F(x)定义域为R,对任意a b属于R都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当X大于零时F(x)小于零恒成立.F(3)=-3请求出函数y=F(x)在[m,n]上的值域.其中m,n属于整数 已知函数f(X)的定义域为[0,1],求f(1-2x)的定义域 还有三个问题1已知f(x+1/x)=x^3+1/x^3,求f(x)2已知f(x)的定义域为自然数集N，且满足条件f(x+1)=f(x)+f(y)+xy,且有f(1)=1,求f(x)3函数f(x)对任意的a,b属于R，都有 函数f(x)的定义域为R,并满足以下条件：（1）对任意x,y属于R,有f(x)>0,(2)对任意x,y属于R有f(xy)=[f(x)]^y (3)f(1/3)>1 求f(0)的值；求证：f(x)在R上是单调递增函数；若a>b>c>0,且b^2=ac,求证：f(a)+f(c)>2f(b) 函数f(x)的定义域为R,并满足以下条件：1,对任意x属于R,有f(x)大于零2,对任意x,y属于R,有f(xy)=[f(x)]^y;3,f(1/3)>1问;1,求f(0)的值2,求证：f(x)在R上是单调增函数3,若a>b>c>0,且b^2=ac,求证：f(a)+f(c)>2f(b) 定义域为R的函数f(x)对任意x属于R都有f(x)=f(4-x),且其导函数f`(x)满足(x-2)F`(x)>0,则当2 对定义域属于R的函数f(x),有f(a,b)=af(b)+bf(a),且f(x)的绝对值小于等于1.求证：f(x)恒等于零这是一道自主招生的题目.