已知函数y=2sinxcosx+sinx-cosx(0≤x≤π).求y的最大值

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 02:34:06
已知函数y=2sinxcosx+sinx-cosx(0≤x≤π).求y的最大值

已知函数y=2sinxcosx+sinx-cosx(0≤x≤π).求y的最大值
已知函数y=2sinxcosx+sinx-cosx(0≤x≤π).求y的最大值

已知函数y=2sinxcosx+sinx-cosx(0≤x≤π).求y的最大值
y=2sinxcosx+sinx-cosx(0≤x≤π).
设sinx-cosx=t,
t=√2sin(x-π/4),t∈【-√2/2,1】
sinx-cosx=t两边同时平方得
1-2sinxcosx=t^2,即2sinxcosx=1-t^2
y=2sinxcosx+sinx-cosx
=1-t^2+t
=-(t-1/2)²+5/4
因t∈【-√2/2,1】
所以最大值是5/4

y=2sinxcosx+sinx-cosx(0≤x≤π).
设 sinx-cosx=t，
t=√2sin(x-π/4),可以得出t∈【-√2/2,1】
那么，1-2sinxcosx=t^2,
2sinxcosx=1-t^2
y=2sinxcosx+sinx-cosx=1-t^2+t
对于方程y=1-t^2+t
是关于x=1/2对称的开口向...

全部展开

y=2sinxcosx+sinx-cosx(0≤x≤π).
设 sinx-cosx=t，
t=√2sin(x-π/4),可以得出t∈【-√2/2,1】
那么，1-2sinxcosx=t^2,
2sinxcosx=1-t^2
y=2sinxcosx+sinx-cosx=1-t^2+t
对于方程y=1-t^2+t
是关于x=1/2对称的开口向下的抛物线
则在t∈【-√2/2,1】的区间上
当t=1/2时，方程在对称轴处取得抛物线的顶点既是最大值
y（max）=1-（1/2）^2+1/2
=5/4

收起

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