比较1+2x＾4与2x＾3+x＾2的大小

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/27 17:58:50

比较1+2x＾4与2x＾3+x＾2的大小
比较1+2x＾4与2x＾3+x＾2的大小

比较1+2x＾4与2x＾3+x＾2的大小
1+2x＾4-(2x＾3+x＾2)
=2x^4-2x^3-(x^2-1)
=2x^3(x-1)-(x-1)(x+1)
=(x-1)(2x^3-x-1)
=(x-1)(x-1)(2x^2+2x+1)
=(x-1)^2(2(x+1/2)^2+1/2)≥0
所以
1+2x＾4≥2x＾3+x＾2

1+2x＾4-（2x＾3+x＾2）=2x＾4-2x＾3-x＾2+1
=（2x＾4-2x＾3+x＾2）+2x＾4-2x＾2+1
=两个都是完全平方式
所以1+2x＾4〉=2x＾3+x＾2
x=1时二者相等

A==2X^4+1
B==2X^3+X^2
A-B=2X^4+1-(2X^3+X^2)
=2X^4-2X^3-X^2+1
=2X^3(X-1)-(X-1)(X+1)
=(X-1)(2X^3-X-1)
=(X-1)(X-1)(2X^2+2X+1)
=(X-1)^2×[X^2+(X+1)^2]
而x为实数不等于1，所以(X-1)^2＞0,X^2+(X+1)^2＞0
即A-B>0
故A>B

(1+2x^4)-(2x^3+x^2)
=2x^3(x-1)-(x+1)(x-1)
=(x-1)(2x^3-x-1)
=(x-1)[(x^3-x)+(x^3-1)]
=(x-1)[x(x+1)(x-1)+(x-1)(x^2+x+1)]
=(x-1)^2(z^2+x+x^2+x+1)
=(x-1)^2(2x^2+2x+1)
2x^2+2x+1
=2(x+1/2)^2+1/2>0
所以
(1+2x^4)-(2x^3+x^2)≥0
即1+2x^4≥2x^3+x^2
当且仅当x=1时取等号

(1+2x＾4)-(2x＾3+x＾2)
=2x＾4-2x＾3-x＾2+1
=(2x＾3)(x-1)-(x＾2-1)
=(x-1)(2x^3-x-1)……《1》
当x=1时，《1》式=0，则1+2x＾4=2x＾3+x＾2
当x》1时，《1》〉0，则1+2x＾4 〉2x＾3+x＾2
当x《1时，《1》>0，则1+2x＾4 > 2x＾3+x＾2

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