作业帮我想向您请教个微积分的问题 sinx的六次方怎么积分
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 09:26:52
我想向您请教个微积分的问题 sinx的六次方怎么积分
我想向您请教个微积分的问题 sinx的六次方怎么积分
我想向您请教个微积分的问题 sinx的六次方怎么积分
I1=∫(sinx)^6 dx=-∫(sinx)^5 dcosx = -cosx (sinx)^5 + ∫cosxd(sinx)^5 =-cosx (sinx)^5 + 5∫cosx(sinx)^4 cosxdx =-cosx (sinx)^5 + 5∫(sinx)^4 - (sinx)^6dx
6I1 =-cosx (sinx)^5 + 5∫(sinx)^4dx ----1
I2 = ∫(sinx)^4dx = -∫(sinx)^3dcosx = -cosx (sinx)^3 +3∫(sinx)^2dx -3I2
4I2 = -cosx (sinx)^3 +3∫(sinx)^2dx -----2
∫(sinx)^2dx = 0.5∫(1-cos2x)dx =0.5∫dx-0.25∫cos2xd2x=0.5x +0.25sin2x+C ---3
把3代入2得到I2,把I2代入1得到最终结果
有两种方法。第一种计算稍复杂，手算的话第二种更可行。
1. 作代换y=tanx. dy=dx/cos²x, cos²x=1/(1+y²), sin²x=y²/(1+y²).
∫(sinx)^6 dx=∫(sinx)^6*cos²x dy=∫y^6/(1+y²)^4 dy, 化为有理分式的积分。
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有两种方法。第一种计算稍复杂，手算的话第二种更可行。
1. 作代换y=tanx. dy=dx/cos²x, cos²x=1/(1+y²), sin²x=y²/(1+y²).
∫(sinx)^6 dx=∫(sinx)^6*cos²x dy=∫y^6/(1+y²)^4 dy, 化为有理分式的积分。
2. 记A=∫(sinx)^6 dx, B=∫(cosx)^6 dx.
A+B=∫[(sin²x+cos²x)³-3sin²xcos²x(sin²x+cos²x)]dx=x-∫3sin²2x/4 dx=∫3(1-cos4x)/8 dx
B-A=∫[(cos²x-sin²x)[(sin²x+cos²x)²-sin²xcos²x]dx=∫cos2x(7-cos4x)/8 dx=(7/8)∫cos2x-∫(cos6x+cos2x)/16 dx
二者均可积，相减再除以2即得A. 具体还请LZ自行计算，以巩固此种方法。
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题目没说清楚...
(sinx)^6
还是sinx^6