已知空间四边形ABCD中,AB^2+CD^2=AD^2+BC^2,求证:AC⊥BD

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 18:54:59
已知空间四边形ABCD中,AB^2+CD^2=AD^2+BC^2,求证:AC⊥BD

已知空间四边形ABCD中,AB^2+CD^2=AD^2+BC^2,求证:AC⊥BD
已知空间四边形ABCD中,AB^2+CD^2=AD^2+BC^2,求证:AC⊥BD

已知空间四边形ABCD中,AB^2+CD^2=AD^2+BC^2,求证:AC⊥BD
证明:
设A在面BCD内的射影为P,连结PB、PD,
则PA²+PB²=AB²,PA²+PD²=AD²,
代入已知条件式,化简,得
PB²+CD²=PD²+BC²,
即BC²-PB²=CD²-PD²,
根据射影定理知
CP⊥BD,
P是A在面BCD的射影,根据三垂线定理,得
AC⊥BD,
得证!