作业帮独立的泊松分布之和是否仍服从泊松分布设x1,x2,...,xn均服从参数为λ的泊松分布且相互独立,问其和服从泊松分布吗?若其服从泊松分布,那么其服从参数为多少的泊松分布?可以证明吗?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 14:27:43
独立的泊松分布之和是否仍服从泊松分布设x1,x2,...,xn均服从参数为λ的泊松分布且相互独立,问其和服从泊松分布吗?若其服从泊松分布,那么其服从参数为多少的泊松分布?可以证明吗?
独立的泊松分布之和是否仍服从泊松分布
设x1,x2,...,xn均服从参数为λ的泊松分布且相互独立,问其和服从泊松分布吗?若其服从泊松分布,那么其服从参数为多少的泊松分布?可以证明吗?
独立的泊松分布之和是否仍服从泊松分布设x1,x2,...,xn均服从参数为λ的泊松分布且相互独立,问其和服从泊松分布吗?若其服从泊松分布,那么其服从参数为多少的泊松分布?可以证明吗?
可以证明,并且这些柏松分布各自的参数还不一样.
设X1服从参数为λ1的柏松分布,
设X2服从参数为λ2的柏松分布.
则对于任意非负整数k,有
P(X1 = k) = e^(-λ1) * λ1^k / k!
P(X2 = k) = e^(-λ2) * λ2^k / k!
于是(sum表示求和)
P(X1 + X2 = m) = sum (P(X1 = k)P(X2 = m - k), k=0,1,...,m) (独立性,全概率公式)
= sum ([e^(-λ1) * λ1^k / k!][e^(-λ2) * λ2^(m-k) / (m-k)!], k=0,1,...,m)
= e^(-λ1-λ2) λ2^m/m! * sum(m! / [k!(m-k)!] * (λ1/λ2)^k, k=0,1,...,m)
= e^(-λ1-λ2) λ2^m/m! * (1 + λ1/λ2)^m (二项式定理)
= e^(-λ1-λ2) (λ1+λ2)^m / m!
即得X1 + X2符合Po(λ1+λ2).用数学归纳法可证n个独立柏松变量的和服从
Po(λ1+λ2+...+λn)