作业帮设f为[0,+∞）上连续的严格递增函数,f(0)=0证明：ab≤∫0到a f(x)dx+∫0到b f-1(y)dy (-1代表负一次方）当且仅当b=f(a)时,等号成立（a,b≥0）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 02:01:23
设f为[0,+∞）上连续的严格递增函数,f(0)=0证明：ab≤∫0到a f(x)dx+∫0到b f-1(y)dy (-1代表负一次方）当且仅当b=f(a)时,等号成立（a,b≥0）
设f为[0,+∞）上连续的严格递增函数,f(0)=0证明：ab≤∫0到a f(x)dx+∫0到b f-1(y)dy (-1代表负一次方）
当且仅当b=f(a)时,等号成立（a,b≥0）
设f为[0,+∞）上连续的严格递增函数,f(0)=0证明：ab≤∫0到a f(x)dx+∫0到b f-1(y)dy (-1代表负一次方）当且仅当b=f(a)时,等号成立（a,b≥0）
证：
设一实数c,使f(c)=b,
(1)如果c≥a;
∫(0~a) f(x)dx + ∫(0~b) f^-1(y)dy
= a*b + ∫(f(a)~f(c)) f^-1(y)dy
得 a*b = ∫(0~a) f(x)dx + ∫(0~b) f^-1(y)dy - ∫(f(a)~f(c)) f^-1(y)dy
又因 f(x)为[0,+∞）上连续的严格递增函数,则f^-1(x)也是在[0,+∞）上连续的严格递增函数,得
因c≥a,- ∫(f(a)~f(c)) f^-1(y)dy ≥ 0
所以,a*b ≤ ∫(0~a) f(x)dx + ∫(0~b) f^-1(y)dy
(2)如果 c≤a
∫(0~a) f(x)dx + ∫(0~b) f^-1(y)dy
= a*b - ∫(f(c)~f(a)) f^-1(y)dy
由于f^-1(x)也是在[0,+∞）上连续的严格递增函数,则- ∫(f(c)~f(a)) f^-1(y)dy ≥ 0
所以,a*b ≤ ∫(0~a) f(x)dx + ∫(0~b) f^-1(y)dy
等式成立.
另,当- ∫(f(c)~f(a)) f^-1(y)dy 或- ∫(f(a)~f(c)) f^-1(y)dy 为0时,等号成立.
由于f^-1(x)严格递增,所以当f(c)=f(a)时,即c=a时,有
- ∫(f(c)~f(a)) f^-1(y)dy = - ∫(f(a)~f(c)) f^-1(y)dy = 0
即f(a)=f(c)=b (前面已定义f(c)=b)
∫[0,a] f(x)dx+∫[0,b] f^(-1)(y)dy 令y=f(x)
= ∫[0,a] f(x)dx+∫[0,f^(-1)(b)] f^(-1)[f(x) ]df(x)
= ∫[0,a] f(x)dx+∫[0,f^(-1)(b)] x df(x) 分部积分
= ∫[0,a] f(x)dx+ x f(x) |[0,f^(...
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∫[0,a] f(x)dx+∫[0,b] f^(-1)(y)dy 令y=f(x)
= ∫[0,a] f(x)dx+∫[0,f^(-1)(b)] f^(-1)[f(x) ]df(x)
= ∫[0,a] f(x)dx+∫[0,f^(-1)(b)] x df(x) 分部积分
= ∫[0,a] f(x)dx+ x f(x) |[0,f^(-1)(b)] - ∫[0,f^(-1)(b)] f(x) dx 区间可加性
= bf^(-1)(b) + ∫[f^(-1)(b),a] f(x) dx 积分中值定理 c介于a与f^(-1)(b)之间
= bf^(-1)(b) +f(c)[a - f^(-1)(b)] = A(假设)
讨论 设f为[0,+∞）上连续的严格递增函数，f(0)=0 所以f^(-1)(x)也是单调递增
若b>f(a),f^(-1)(b) > a， f(c)bf^(-1)(b)+b[a - f^(-1)(b)] =ab
若b
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