作业帮一道数学题（请亲们画图说明）已知A,B,C为不共线的三点,G为△ABC的内的一点,若向量GA+向量GB+向量GC=向量0,求证：点G是△ABC的重心.反之若点G是△ABC的重心,求证：向量GA+向量GB+向量GC=向量0
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 00:38:25
一道数学题（请亲们画图说明）已知A,B,C为不共线的三点,G为△ABC的内的一点,若向量GA+向量GB+向量GC=向量0,求证：点G是△ABC的重心.反之若点G是△ABC的重心,求证：向量GA+向量GB+向量GC=向量0
一道数学题（请亲们画图说明）
已知A,B,C为不共线的三点,G为△ABC的内的一点,若向量GA+向量GB+向量GC=向量0,求证：点G是△ABC的重心.
反之若点G是△ABC的重心,求证：向量GA+向量GB+向量GC=向量0
一道数学题（请亲们画图说明）已知A,B,C为不共线的三点,G为△ABC的内的一点,若向量GA+向量GB+向量GC=向量0,求证：点G是△ABC的重心.反之若点G是△ABC的重心,求证：向量GA+向量GB+向量GC=向量0
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由“向量GA+向量GB+向量GC=向量0”得到“向量GA+向量GB=-向量GC” 这就是说：C关于G的对称点C1与B、G、A四点形成平行四边形（图不是太标准），也即GC1与AB是互相平分的。这正好是重心的定义（每边平分线的交点。）。 反之证明仿上倒推可得。
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设点D是AB边的中点。
连接GD,并延长到点E,使得GD=DE.
连接AE, BE.
由上面辅助线的做法及向量加法的平行四边形法则可知
向量GE=2向量GD.
向量GA+向量GB=向量GE
=2向量GD.
又由题设可知
向量GA+向量GB=-向量GC
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设点D是AB边的中点。
连接GD,并延长到点E,使得GD=DE.
连接AE, BE.
由上面辅助线的做法及向量加法的平行四边形法则可知
向量GE=2向量GD.
向量GA+向量GB=向量GE
=2向量GD.
又由题设可知
向量GA+向量GB=-向量GC
=向量CG
∴向量CG=2向量GD.
∴向量CG与向量GD共线
又点D为中点.
∴CD为AB边上的中线.
显然,|CG|=2|GD|.
∴由三角形重心的判断方法可知,
点G为三角形重心,
证明:令,向量AB=a,向量AC=b.
延长AG,BG,CG分别交BC边,CA边,AB边于E,F,D.而,G为△ABC的重心,则有
向量BC=向量(AC-AB)=b-a).
向量AE=向量(AB+1/2*BC)=(a+b)/2.
向量AG=2/3*aE=(a+b),
向量BF=向量(AF-AB)=(b-2a)/2.
向量BG=2/3*向量BF=(b-2a)/3.
向量CD=向量(CB+BD)=-(BC+DB)=(a-2b)/2.
向量CG=2/3*向量CD=(a-2b)/3.
向量AG+向量BG+向量CG=(a+b)/3+(b-2a)/3+(a-2b)/3=0,
即,向量GA+向量GB+向量GC=0向量
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