作业帮当x趋向+无穷,求(ln(1+2^x))/(ln(1+3^x))的极限哦我懂了～
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 07:28:21
当x趋向+无穷,求(ln(1+2^x))/(ln(1+3^x))的极限哦我懂了～
当x趋向+无穷,求(ln(1+2^x))/(ln(1+3^x))的极限
哦我懂了～
当x趋向+无穷,求(ln(1+2^x))/(ln(1+3^x))的极限哦我懂了～
用罗比达法则：
lim(ln(1+2^x))/(ln(1+3^x))
=lim[2^xln2/(1+2^x)][3^xln3/(1+3^x)]
=lim (ln2/ln3) [(2^x+6^x)/(3^x+6^x)] (分子分母同除以6^x)
=ln2/ln3
x→无穷，得：ln(2^x+1)和ln(3^x+1) 都→无穷。且可导，用洛必达法则。
原极限=
lim [2^xln2/(1+2^x)]/[3^xln3/(1+3^x)]
=(ln2/ln3 ) *lim (2^x*3^x+2^x)/ (2^x*3^x+3^x )
=ln2/ln3 * lim (1+1/3^x)/(1+1/2^x)
=ln2/ln3
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x→无穷，得：ln(2^x+1)和ln(3^x+1) 都→无穷。且可导，用洛必达法则。
原极限=
lim [2^xln2/(1+2^x)]/[3^xln3/(1+3^x)]
=(ln2/ln3 ) *lim (2^x*3^x+2^x)/ (2^x*3^x+3^x )
=ln2/ln3 * lim (1+1/3^x)/(1+1/2^x)
=ln2/ln3
x→正无穷，2^x自然是正无穷，1+2^x也是趋向正无穷的。所以ln(1+2^x)也趋向正无穷。分母同。
收起
当x>1时原式 <(ln(2*2^x))/(ln(3^x)) = ln(2^(x+1)) /(ln(3^x) = (x+1) *ln2 /xln3
当x趋向无穷时(x+1) *ln2 /xln3 趋向 ln2 /ln3
当x<1时原式 >(ln(2^x))/(ln(3*3^x)) =xln2 /(ln3^(x+1)) = xln2 /(x+1)ln3
当x趋向无穷时xln2 /(x+1)ln3 趋向 ln2 /ln3
由夹逼定理知原式的极限是ln2 /ln3
lim [ln(1+2^x)]/[ln(1+3^x)]
=lim [ln2*2^x/(1+2^x)]/[ln3*3^x/(1+3^x)]
=ln2/ln3*lim [2^x(1+3^x)]/[3^x(1+2^x)]
=ln2/ln3*lim [(1/3)^x+1]/[(1/2)^x+1]
=ln2/ln3