作业帮设直线L过双曲线X2-Y2/3=1的一个焦点,交双曲线于A,B亮点,O为坐标原点,若OA向量乘以OB向量=0,求｜AB｜的值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 11:38:16
设直线L过双曲线X2-Y2/3=1的一个焦点,交双曲线于A,B亮点,O为坐标原点,若OA向量乘以OB向量=0,求｜AB｜的值
设直线L过双曲线X2-Y2/3=1的一个焦点,交双曲线于A,B亮点,O为坐标原点,若OA向量乘以OB向量=0,求｜AB｜的值
设直线L过双曲线X2-Y2/3=1的一个焦点,交双曲线于A,B亮点,O为坐标原点,若OA向量乘以OB向量=0,求｜AB｜的值
a²=1 b²=3
c²=a²+b²=1+3=4
c=2
不妨设直线L过双曲线的右焦点(2,0)
点A坐标为(x1,y1)点B坐标为(x2,y2)
向量OA=(x1,y1),向量OB=(x2,y2)
若直线L是：x=2
联立x=2与x²-y²/3=1
4-y²/3=1
y²=9
y=±3
解得：
x1=2 或 x2=2
y1=3 y2=-3
则点A坐标为(2,3),点B坐标为(2,-3)
向量OA=(2,3),向量OB=(2,-3)
向量OA·向量OB=2×2+3×(-3)=4-9=-5≠0
若直线L是：y=k(x-2)
联立y=k(x-2)与x²-y²/3=1
x²-k²(x-2)²/3=1
3x²-(k²x²-4k²x+4k²)=3
(3-k²)x²+4k²x-(4k²+3)=0
在3-k²≠0,即k≠±√3时
x1、x2是方程(3-k²)x²+4k²x-(4k²+3)=0的两根
x1+x2=-4k²/(3-k²)=4k²/(k²-3)
x1·x2=-(4k²+3)/(3-k²)=(4k²+3)/(k²-3)
则y1·y2
=k(x1-2)·k(x2-2)
=k²[x1·x2-2(x1+x2)+4]
=k²·x1·x2-2k²(x1+x2)+4k²
向量OA·向量OB
=x1·x2+y1·y2
=x1·x2+k²·x1·x2-2k²(x1+x2)+4k²
=(k²+1)x1·x2-2k²(x1+x2)+4k²
=(k²+1)(4k²+3)/(k²-3)-2k²·4k²/(k²-3)+4k²
=[(k²+1)(4k²+3)-8k^4+4k²(k²-3)]/(k²-3)
=(4k^4+7k²+3-8k^4+4k^4-12k²)/(k²-3)
=(3-5k²)/(k²-3)
=0
则3-5k²=0
k²=3/5
∴x1+x2=4k²/(k²-3)=(4×3/5)/(3/5-3)=-1
x1·x2=(4k²+3)/(k²-3)=(4×3/5+3)/(3/5-3)-9/4
则(x1)²+(x2)²=(x1+x2)²-2x1·x2=(-1)²-2×(-9/4)=11/2
∵向量OA·向量OB=0
即OA⊥OB
∴|AB|²
=|OA|²+|OB|²
=(x1)²+(y1)²+(x2)²+(y2)²
=(x1)²+(x2)²+k²(x1-2)²+k²(x2-2)²
=(k²+1)[(x1)²+(x2)²]-4k²(x1+x2)+8k²
=(3/5+1)×11/2-4×3/5×(-1)+8×3/5
=44/5+12/5+24/5
=16
∴|AB|=4