作业帮已知a1=2/3,a2=1,数列满足3an=4a(n-1)-a(n-2),求an的通项公式
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 16:57:15
已知a1=2/3,a2=1,数列满足3an=4a(n-1)-a(n-2),求an的通项公式
已知a1=2/3,a2=1,数列满足3an=4a(n-1)-a(n-2),求an的通项公式
已知a1=2/3,a2=1,数列满足3an=4a(n-1)-a(n-2),求an的通项公式
特征方程3x^2-4x+1=0的解1/3,1
an=p(1/3)^(n+1)+q(1)^n=p/3^(n+1)+q
代入a1=2/3,a2=1,
p/9+q=2/3
p/27+q=1
p=-9/2 q=7/6
an= 7/6 -1/(2*3^(n-1))
变形为
3an-3a(n-1)=a(n-1)-a(n-2）
3【an-a(n-1)】=a(n-1)-a(n-2）
【an-a(n-1)】/[a(n-1)-a(n-2）]=1/3
即｛an-a(n-1)｝是以首项1/3，公比1/3的等比数列
an-a(n-1)=（1/3）^n
再叠加
a2-a1=1/3
a3-a2=(1/3)^2
全部展开
变形为
3an-3a(n-1)=a(n-1)-a(n-2）
3【an-a(n-1)】=a(n-1)-a(n-2）
【an-a(n-1)】/[a(n-1)-a(n-2）]=1/3
即｛an-a(n-1)｝是以首项1/3，公比1/3的等比数列
an-a(n-1)=（1/3）^n
再叠加
a2-a1=1/3
a3-a2=(1/3)^2
a4-a3=(1/3)^3
.
.
an-a(n-1)=（1/3）^n
两边相加
an-1/3=1/2-1/2*(1/3)^n
an=5/6-1/2*(1/3)^n
收起
3（a_n-xa_(n-1) ）=4(a_(n-1)-xa_(n-2) )
带入上式解得x=1/3
于是够着了一个等比数列，第一项为a_2-1/3 a_1
求出该等比数列的通项后，然后下面就该会算了，就是一般的方法了
3a(n)=4a(n-1)-a(n-2)
3a(n)-a(n-1)=3a(n-1)-a(n-2)
令b(n)=3a(n+1)-a(n)
则b(n)=b(n-1)即b(n)是常数列
b(1)=3a(2)-a(1)=7/3
所以b(n)=7/3
即3a(n)-a(n-1)=7/3
3a(n)-7/2=a(n-1)-7/6
3[a...
全部展开
3a(n)=4a(n-1)-a(n-2)
3a(n)-a(n-1)=3a(n-1)-a(n-2)
令b(n)=3a(n+1)-a(n)
则b(n)=b(n-1)即b(n)是常数列
b(1)=3a(2)-a(1)=7/3
所以b(n)=7/3
即3a(n)-a(n-1)=7/3
3a(n)-7/2=a(n-1)-7/6
3[a(n)-7/6]=a(n-1)-7/6
令c(n)=a(n)-7/6
则c(n)=(1/3)c(n-1),即c(n)是等比数列
c(1)=a(1)-7/6=-1/2
c(n)=c(1)*(1/3)^(n-1)=-1/[2*3^(n-1)]
所以a(n)=c(n)+7/6=-1/[2*3^(n-1)]+7/6
收起