作业帮设a,b,c分别是三角形ABC的三个内角A,B,C所对的边,则a^2=b(b+c)是A=2B的什么条件?为什么?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 23:51:28
设a,b,c分别是三角形ABC的三个内角A,B,C所对的边,则a^2=b(b+c)是A=2B的什么条件?为什么?
设a,b,c分别是三角形ABC的三个内角A,B,C所对的边,则a^2=b(b+c)是A=2B的什么条件?为什么?
设a,b,c分别是三角形ABC的三个内角A,B,C所对的边,则a^2=b(b+c)是A=2B的什么条件?为什么?
a^=b(b+c)--->a^-b^=bc--->a^+c^-b^=(b+c)c
--->2cosB=(a^+c^-b^)/(ac)=(b+c)/a=(sinB+sinC)/sinA
--->2sinAcosB=sinB+sinC
又 a^=b(b+c)--->sin^A=sinB(sinB+sinC)
--->sin^A=sinB*2sinAcosB
--->sinA=2sinBcosB=sin(2B)
--->A=2B或A+2B=180
如果A+2B=180=A+B+C--->B=C--->a^=b^+c^
--->三角形ABC是等腰直角三角形--->A=90=2*45=2B
总之,A=2B
若A=2B
则sinA=sin(2B)=2sinBcosB
cosB=(a^+c^-b^)/2ac
a/b=(a^+c^-b^)/ac
a^(c-b)=b(b+c)(c-b)
a^2=b(b+c)或c=b
若c=b,三角形ABC是等腰直角三角形
所以为充要条件
既不充分也不必要条件。要详细的解答过程 应选A，充要条件。 1、充分性，设已知a^2=b(b+c) 延长CA至E，使AE=AB，连结BE，EC=b+c,<ACB=<
a^2=b(b+c)
<==> b^2+bc=b^2+c^2-2bccosA (余弦定理)
<==> bc=c^2-2bccosA
<==> bc(1+2cosA)=c^2
<==> b(1+2cosA)=c
<==> sinB(1+2cosA)=sinC=sin(a+B)=sinAcosB+cosAsinB
<==> sinB=sinAcosB-...
全部展开
a^2=b(b+c)
<==> b^2+bc=b^2+c^2-2bccosA (余弦定理)
<==> bc=c^2-2bccosA
<==> bc(1+2cosA)=c^2
<==> b(1+2cosA)=c
<==> sinB(1+2cosA)=sinC=sin(a+B)=sinAcosB+cosAsinB
<==> sinB=sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B)。。。(1)
<==) B=A-B 或 B=180-(A-B)
<==> A=2B 或 A=180(舍)
<==> A=2B
故：是充要条件
收起
①充分性：p推出q
∵A=2B
a/sinA=b/sinB
∴a/sin2B=b/sinB
a/2sinBcosB=b/sinB
a=b·2cosB
=b·2·【(a^2+c^2-b^2)/2ac】
a^2·c=a^2·b+b(c^2-b^2)
∴a^2=b(b+c)
②必要性：q推出p
∵a^2=b(b+c)
全部展开
①充分性：p推出q
∵A=2B
a/sinA=b/sinB
∴a/sin2B=b/sinB
a/2sinBcosB=b/sinB
a=b·2cosB
=b·2·【(a^2+c^2-b^2)/2ac】
a^2·c=a^2·b+b(c^2-b^2)
∴a^2=b(b+c)
②必要性：q推出p
∵a^2=b(b+c)
∴b^2+c^2-2bcosA=b^2+bc
c-2bcosA=b
sinC-2sinBcosA=sinB
sin(A+B)-2sinBcosA=sinB
sinAcosB-sinBcosA=sinB
sin(A-B)=sinB
A-B=B 或 A-B+B=π(舍）
∴A=2B
综上，为充要条件。
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