作业帮>>>>关于矩阵等价的一个问题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 14:18:08
>>>>关于矩阵等价的一个问题
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AX=0与BX=0同解,能够得到A与B等价；那A与B等价能推出AX=0与BX=0同解?
请证明?
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是的,正如楼上所说,等价不能推出同解.
但是A与B行等价 可以推出两方程同解.
或者说:AX=0与BX=0同解A与B行等价
证明一下,这里假设AB都是n阶方阵.
一、同解推等价
设方程解系为 e1,e2...e(n-r),而且他们是经过正交化的.
A=[a1
a2
.
.
an]
B=[b1
b2
.
.
bn]
不失一般性,设a1,a2...ar和b1,b2...br分别是线性无关向量组.
1、下面考察向量组[a1,a2...ar;e1',e2'...e(n-r)']
k1.a1+k2.a2+...+kr.ar+k(r+1).e1'+k(r+2).e2'+...+kn.e(n-r)'=0 其中()'表示转置矩阵
用ei右乘上式,利用aj.ei=0,ej.ei=0化解上式得:
k(r+i).(ei)'.ei=0,所以 k(r+i)=0;
所有的系数k(r+1)=0,剩下了 k1.a1+k2.a2+...+kr.ar=0,而a1,a2...ar;又线性无关,所以k1,k2...kr=0
综上,k1,k2...kn=0,
向量组[a1,a2...ar;e1',e2'...e(n-r)'] 是线性无关的.
同理,向量组[b1,b2...br;e1',e2'...e(n-r)'] 是线性无关的.
2、下面再看向量组[a1,a2...ar;e1',e2'...e(n-r)';bi]
设 k0.bi+k1.a1+k2.a2+...+kr.ar+k(r+1).e1'+k(r+2).e2'+...+kn.e(n-r)'=0
它们共有n+1个向量,它们一定是线性无关的,
然而除了bi剩下的向量组是线性无关的,所以系数k0不为零.
再用ei右乘上式得:
k(r+i).(ei)'.ei=0,所以 k(r+i)=0;
所以k0.bi+k1.a1+k2.a2+...+kr.ar=0,而k0不为零,所以bi可以被a1,a2...ar线性表出.
所以 b1,b2...br 能被 a1,a2...ar线性表出
3、a1,a2...ar和b1,b2...br是等价向量组,而他们又是AB的行向量,
所以A、B行等价.
二、等价推同解
AB行等价,A=PB,P是可逆矩阵
Ax=0 =>PBx=0 =>P(Bx)=0
=>Bx=0
A=PB,B=P(-1)A,同理可证 Bx=0 =>Ax=0
所以方程同解.
好像是不能。具体的我忘记了，但是我印象中这不是一个充要条件。
首先，什么叫等价？
我估计你说的等价是指存在可逆矩阵P，Q，使得A=PBQ，或者说A，B尺寸相同并且秩相同。
如果是这样的话A与B等价不能推出AX=0与BX=0同解。反例很容易举，比如
A=(0 1),B=(1 0)。
一般等价不能推出方程同解。但是，若A和B行等价，则有AX=0和BX=0同解
实际上，这是我们消元法求解线性方程组的理论基础，正因为同解才能放心用消元法
证明楼上有人给了，不多说
还有一个对偶命题，若A和B列等价，则有XA=0和XB=0同解
举个反例
x+y=2
x-y=0
和
x+2y=3
x+y=1
显然R（A）=R...
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一般等价不能推出方程同解。但是，若A和B行等价，则有AX=0和BX=0同解
实际上，这是我们消元法求解线性方程组的理论基础，正因为同解才能放心用消元法
证明楼上有人给了，不多说
还有一个对偶命题，若A和B列等价，则有XA=0和XB=0同解
举个反例
x+y=2
x-y=0
和
x+2y=3
x+y=1
显然R（A）=R（B）=2，故A和B等价，但是解(1,1)，(-1,2)不同
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