作业帮过y^2-3x^2=3的上支上一点p作双曲线的切线交两条渐近线分别于点a,b,求证；向量oa向量ob相乘为定值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 09:35:44
过y^2-3x^2=3的上支上一点p作双曲线的切线交两条渐近线分别于点a,b,求证；向量oa向量ob相乘为定值
过y^2-3x^2=3的上支上一点p作双曲线的切线交两条渐近线分别于点a,b,求证；向量oa向量ob相乘为定值
过y^2-3x^2=3的上支上一点p作双曲线的切线交两条渐近线分别于点a,b,求证；向量oa向量ob相乘为定值
方法一：
设P（m ,n）,则 n^2-3m^2=3 .
对双曲线方程求导得 2 y*y ‘-6x=0 ,因此切线斜率 k=y ’=3x/y=3m/n ,
所以切线方程为 y-n=3m/n*(x-m) ,
化简得 3mx-ny=3m^2-n^2= -3 ,
分别与 y= -√3*x 和 y=√3*x 联立,可解得 A（-√3/(√3*m+n) ,3/(√3m+n) ）,B（-√3/(√3m-n) ,-3/(√3m-n)）,
所以 OA*OB=3/(3m^2-n^2)-9/(3m^2-n^2)=3/(-3)-9/(-3)=2 为定值 .
方法二：设切线方程为 y=kx+b ,代入双曲线方程得 (kx+b)^2-3x^2=3 ,
化简得 (k^2-3)x^2+2kbx+b^2-3=0 ,
判别式=4k^2b^2-4(k^2-3)(b^2-3)=0 ,
解得 b^2=3-k^2 .（1）
双曲线的两渐近线方程为 y^2-3x^2=0 ,
将 y=kx+b 代入可得 (kx+b)^2-3x^2=0 ,
化简得 (k^2-3)x^2+2kbx+b^2=0 ,
设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则 x1+x2=2kb/(3-k^2) ,x1*x2=b^2/(k^2-3) ,
所以,y1*y2=(kx1+b)(kx2+b)=k^2x1*x2+kb(x1+x2)+b^2=k^2b^2/(k^2-3)+2k^2b^2(3-k^2)+b^2
=k^2b^2/(3-k^2)+b^2=3b^2/(3-k^2) ,
则 OA*OB=x1*x2+y1*y2=b^2/(k^2-3)+3b^2/(3-k^2)=2b^2/(3-k^2)=2 ,为定值 .