作业帮问一道证明题用以下方法写出一串数a1,a2,...an,：当ak写出后,在这个数的末尾添加一个不是9的数字,生成a(k+1)(k=1,2,...n),证明：这鞋数中,无论怎么写必定有无数个合数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 22:33:21
问一道证明题用以下方法写出一串数a1,a2,...an,：当ak写出后,在这个数的末尾添加一个不是9的数字,生成a(k+1)(k=1,2,...n),证明：这鞋数中,无论怎么写必定有无数个合数
问一道证明题
用以下方法写出一串数a1,a2,...an,：当ak写出后,在这个数的末尾添加一个不是9的数字,生成a(k+1)(k=1,2,...n),证明：这鞋数中,无论怎么写必定有无数个合数
问一道证明题用以下方法写出一串数a1,a2,...an,：当ak写出后,在这个数的末尾添加一个不是9的数字,生成a(k+1)(k=1,2,...n),证明：这鞋数中,无论怎么写必定有无数个合数
证出来了,感谢楼主的提示
将0-8这9个数字分成如下三个集合：
A={0, 2, 4, 5, 6, 8}
B={1, 7}
C={3}
1) 如果添加的数字中A中的元素出现无限次,每出现一次,该数必然能整除2或者5,因此有无数个合数
2) 如果添加的数字中A中的元素出现有限次,也就是从某个数字开始只能添加B∪C中的元素.如果B中的元素出现无限次,根据一个数被3除的余数等于各位数字之和被3除的余数可知,B中的元素每出现一次,余数递加1,而C中元素出现不影响对3的余数,因此在B中的元素出现0次、1次或者2次的时候该数必然能被3整除,以后B中的元素每出现3次,该数就能被3整除,因此也存在无数个合数
3) 如果添加的数字中A∪B中的元素出现有限次,也就是从某个数字开始只能添加C中的元素.假设这个时候的数是x
3.1) 先证一个引理：如果p与10互质,那么必然存在正整数k,使得3...3（k个3连接）能整除p.根据鸽笼原理,3、33、333...这无限多个数中,必然存在两个数它们对p的余数相同,假设是m个3和n个3,且m>n,两者相减,得3...30...0（m-n个3,n个0）能整除p,又p与10互质,所以3...3（m-n个3）能整除p,引理得证
3.2) 显然,x3（x后接1个3）与10互质,根据引理,存在3...3（k个3连接）这么一个数,使得3...3（k个3连接）能整除x3,于是x3的后面再接k个、2k个、3k个...个3都能整除x3,因此还是存在无数个合数
故原命题得证