证明 欧拉级数_π证明无穷级数1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+.+1/n^2 = π^2 /6这个式子咋和圆周率扯上联系?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 13:40:15
证明 欧拉级数_π证明无穷级数1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+.+1/n^2 = π^2 /6这个式子咋和圆周率扯上联系?

证明 欧拉级数_π证明无穷级数1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+.+1/n^2 = π^2 /6这个式子咋和圆周率扯上联系?
证明 欧拉级数_π
证明无穷级数
1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+.+1/n^2 = π^2 /6
这个式子咋和圆周率扯上联系?

证明 欧拉级数_π证明无穷级数1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+.+1/n^2 = π^2 /6这个式子咋和圆周率扯上联系?
可以参见黎曼zeta函数.
一个有意思的推导是欧拉给出的
考虑Sin(x)/x
泰勒展开后有 sin(x)/x = 1 - x^2/3! + .
另外, sin(x)/x 在x = n Pi 的时候有零点. 我们假设可以用这些零点来表示sin(x)/x 那么有
sin(x)/x = (1-x/Pi)(1+x/Pi)(1-x/(2Pi))(1+x/(2Pi)...
(成立因为左边有右边的零点必须相同)
也就等于 (1-x^2/Pi^2)(1-x^2/(4Pi^2)).
展开上面的连积, 然后取x^2项目的系数有
-(1/Pi^2+1/(4Pi^2)+1/(9Pi^2)+.) = - 1/Pi^2 (1+1/4+1/9+...1/n^2)
这个既然是x^2项目的系数, 自然应该等于 1/3! = 1/6.
所以得到
1+1/4+1/9+. = Pi^2/6.
比较规范的还是参考riemann zeta function吧.

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