请讨论函数f(x)=x+4/x在(0,2],[2,+∞)上的单调性并求函数在区间[1,4]上的最值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/11 13:47:29
请讨论函数f(x)=x+4/x在(0,2],[2,+∞)上的单调性并求函数在区间[1,4]上的最值

请讨论函数f(x)=x+4/x在(0,2],[2,+∞)上的单调性并求函数在区间[1,4]上的最值
请讨论函数f(x)=x+4/x在(0,2],[2,+∞)上的单调性
并求函数在区间[1,4]上的最值

请讨论函数f(x)=x+4/x在(0,2],[2,+∞)上的单调性并求函数在区间[1,4]上的最值
设x1

对勾函数,在[2,+∞)上单调递增 具体证明方法在http://baike.baidu.com/view/701834.html?wtp=tt#6上有

设x1则f(x1)-f(x2)=x1+4/x1-(x2+4/x2)
=(x1-x2)+4(x2-x1)/(x1x2)
=(x1-x2)(x1x2-4)/(x1x2)
当x∈(0,2]时,0 x1-x2<0,x1x2-4<0,x1x2>0,所以(x1-x2)(x1x2-4)/...

全部展开

设x1则f(x1)-f(x2)=x1+4/x1-(x2+4/x2)
=(x1-x2)+4(x2-x1)/(x1x2)
=(x1-x2)(x1x2-4)/(x1x2)
当x∈(0,2]时,0 x1-x2<0,x1x2-4<0,x1x2>0,所以(x1-x2)(x1x2-4)/(x1x2) >0
f(x1)>f(x2).
单调递减。
当x∈[2,+∞)时,2≤x1 x1-x2<0,x1x2-4>0,x1x2>0,所以(x1-x2)(x1x2-4)/(x1x2) <0
f(x1) 单调递增。

收起