作业帮正三棱锥的高为1 底面边长为2内有一个球与四个面都相切 求球的半径R和棱锥表面积
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 01:04:00
正三棱锥的高为1 底面边长为2内有一个球与四个面都相切 求球的半径R和棱锥表面积
正三棱锥的高为1 底面边长为2内有一个球与四个面都相切 求球的半径R和棱锥表面积
正三棱锥的高为1 底面边长为2内有一个球与四个面都相切 求球的半径R和棱锥表面积
如图正三棱锥S-ABC,内切球O,半径为r.
AD=√3/2*AB=√3/2*2=√3.
DE=1/3*AD=√3/3.
SE=1.
侧面的斜高SD2=DE2+SE2=1/3+1=4/3,SD=（2√3）/3.
S（侧）=1/2*3AB*SD=1/2*6*（2√3）/3=2√3；
S（底）=1/2*BC*AD=1/2*2*√3=√3.
S（表）=S（侧）+S（底）=2√3+√3=3√3.
我们利用等积法求r.
V(S-ABC)=1/3* S（底）*SE=1/3*√3*1=√3/3.
另一方面,连接OA、OB、OC、OS,就把棱锥分成了4个小棱锥,
其体积和=1/3*S（表）*r =1/3*3√3*r=√3*r.
于是有：√3*r=√3/3,所以,r=1/3.
设球的半径为R
根据题意 内切球球心到正三棱锥个面的距离均为R
取正是图中三角形（各边长为2，√ 2，√2的等腰直角三角形 ）计算即可
故有计算式 R+√2R=1
R=√2-1
棱锥表面积由侧面积+底面积
先求侧面积（3个相同的三角形），由已知的高和底边
结合图形求侧面三角形的高
h=√ [（√ 3/3）^2+1^2]=2√ 3/3...
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设球的半径为R
根据题意 内切球球心到正三棱锥个面的距离均为R
取正是图中三角形（各边长为2，√ 2，√2的等腰直角三角形 ）计算即可
故有计算式 R+√2R=1
R=√2-1
棱锥表面积由侧面积+底面积
先求侧面积（3个相同的三角形），由已知的高和底边
结合图形求侧面三角形的高
h=√ [（√ 3/3）^2+1^2]=2√ 3/3
故棱锥表面积为
0.5*2*2√ 3/3*3+0.5*2*√ 3=3√ 3
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