作业帮一道等腰梯形的几何体如图,梯形ABCD中,AB//CD,AD=BC,CE⊥BC,垂足为E.若AC⊥BD于G.求证：CE=1/2(AB+CD)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 09:27:29
一道等腰梯形的几何体如图,梯形ABCD中,AB//CD,AD=BC,CE⊥BC,垂足为E.若AC⊥BD于G.求证：CE=1/2(AB+CD)
一道等腰梯形的几何体
如图,梯形ABCD中,AB//CD,AD=BC,CE⊥BC,垂足为E.若AC⊥BD于G.
求证：CE=1/2(AB+CD)
一道等腰梯形的几何体如图,梯形ABCD中,AB//CD,AD=BC,CE⊥BC,垂足为E.若AC⊥BD于G.求证：CE=1/2(AB+CD)
答：（设CE与BD交点是P）
因为ABCD为等腰梯形,所以角ABC=角BAD
又AD=BC,AB=BA,所以三角形ADB和BCA全等.
所以角ADB=角BCA
因为BD垂直AC,所以角DGA=角CGB=90度
又AD=BC,角ADB=角BCA,所以三角形ADG和BCG全等.
所以AG=BG,DG=CG.即三角形ABG和DGC是等腰直角三角形.
所以角DBA=角CAB=45度.
又因为CE垂直AB
所以角AEC=90度,所以三角形DCP,BEP,AEC是等腰直角三角形.
所以AE=EC,BE=EP,DC=CP.所以AE+BE+DC=EC+EP+CP
又AE+BE=AB,CP+PE=CE
所以AB+CD=2CE
即CE=1/2(AB+CD)
延长DC到F，连接EF。再取DF中点H，连接BH。
因为AB//CD，CF=AB.所以四边形ABFC是平行四边形.所以BF//=AC
又因为AC⊥BD于G，所以角DBF是直角三角形。
因为H为DF中点，所以BH=DH=HF=1/2(AB+CD)
因为梯形ABCD是等腰梯形，所以BD=AC=BF，所以三角形DBF是等腰直角三角形。所以BH垂直于DF
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延长DC到F，连接EF。再取DF中点H，连接BH。
因为AB//CD，CF=AB.所以四边形ABFC是平行四边形.所以BF//=AC
又因为AC⊥BD于G，所以角DBF是直角三角形。
因为H为DF中点，所以BH=DH=HF=1/2(AB+CD)
因为梯形ABCD是等腰梯形，所以BD=AC=BF，所以三角形DBF是等腰直角三角形。所以BH垂直于DF
因为AB//CD，CE⊥AB于E,所以EC=BH=1/2(AB+CD)
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