作业帮请叙述射影定理?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 12:16:12
请叙述射影定理?
请叙述射影定理?
请叙述射影定理?
直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:(1)(AD)^2;=BD·DC,(2)(AB)^2;=BD·BC ,(3)(AC)^2;=CD·BC .等积式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)
直角三角形射影定理的证明 射影定理简图(几何画板)
：（主要是从三角形的相似比推算来的） 一、 在△BAD与△BCD中,∵∠BDA=∠BDC=90°,且∠DBC+∠C=90°, ∴∠ABD=∠C, 又∵∠BDA=∠BDC=90° ∴△BAD∽△CBD ∴ AD/BD=BD/CD 即BD^2=AD·DC.其余同理可得可证 注：由上述射影定理还可以证明勾股定理. 有射影定理如下： AB^2=AD·AC,BC^2=CD·CA 两式相加得： AB^2+BC^2=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=AC^2 . 即AB^2+BC^2=AC^2（勾股定理结论）. 二、 已知:三角形中角A=90度,AD是高. 用勾股证射影 ∵AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2, ∴2AD=AB+AC-BD-CD=BC-BD-CD=(BD+CD)-(BD+CD)=2BD×CD. 故AD=BD×CD. 运用此结论可得:AB=BD+AD=BD+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC,AC=CD+AD=CD+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB. 综上所述得到射影定理.同样也可以利用三角形面积知识进行证明.
编辑本段任意三角形射影定理
任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”： △ABC的三边是a、b、c,它们所对的角分别是A、B、C,则有 a=b·cosC+c·cosB, b=c·cosA+a·cosC, c=a·cosB+b·cosA. 注：以“a=b·cosC+c·cosB”为例,b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB,故名射影定理. 证明1：设点A在直线BC上的射影为点D,则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD,且 BD=c·cosB,CD=b·cosC,∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB.同理可证其余.
证明2：由正弦定理,可得：b=asinB/sinA,c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA =acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA.同理可证其它的.
编辑本段射影定理 - 面积射影定理
面积射影定理：“平面图形射影面积等于被射影图形的面积S乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦.” COSθ=S射影/S原 (平面多边形及其射影的面积分别是S原,S射影,它们所在平面所成锐二面角的为θ) 证明思路：因为射影就是将原图形的长度（三角形中称高）缩放,所以宽度是不变的,又因为平面多边形的面积比=边长的平方比.所以就是图形的长度（三角形中称高）的比.那么这个比值应该是平面所成角的余弦值.在两平面中作一直角三角形,并使斜边和一直角边垂直于棱（即原多边形图的平面和射影平面的交线）,那么三角形的斜边和另一直角边就是其多边形的长度比,即为平面多边形的面积比,而将这个比值放到该平面三角形中去运算,即可