不用余弦定理求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.初二下四边形那一章得的问题,还没学余弦定理

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 20:54:50

不用余弦定理求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.初二下四边形那一章得的问题,还没学余弦定理
不用余弦定理求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.
初二下四边形那一章得的问题,还没学余弦定理

不用余弦定理求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.初二下四边形那一章得的问题,还没学余弦定理
证明：如图
过A,D两点做BC边的高,垂足分别为E、F
则△ADE≌△DCF【这个容易证明,不做解释了】
BE=CF,AE=DF
利用勾股定理得到
BD²=BF²+DF²
BD²=（BC+CF）²+DF²
    =BC²+2*BC*CF+CF²+DF²
AC²=AE²+CE²
   =AE²+（BC—BE）²
   =AE²+BC²-2*BC*BE+BE²
所以BD²+AC²=（BC²+2*BC*CF+CF²+DF²）+（AE²+BC²-2*BC*BE+BE²）
=2*BC²+2（CF²+DF²）
=2*BC²+2*CD²
=BC²+AD²+AB²+CD²
【注意这里多次运用等量代换,自己注意细看哦】

看余弦定理的求证方法套用一下

示意图如图

e²=h²+(b-c)²

f²=h²+(b+c)²

a²=h²+c²

平行四边形两条对角线的平方e²+f²=h²+(b-c)²+h²+(b+c)²=2(h+c)²+2b²=2a²+2b²

即证